Enunciado

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno

  1. Da reta x = 1 .
  2. Da reta x = 2 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação a duas retas paralelas ao eixo y . Inicialmente, esboçaremos a nossa região limitada, deixando claro a metodologia necessária para resolvermos o nosso problema.

Entretanto, temos que tomar um grande cuidado. Por se tratar de retas paralelas aos eixos coordenados, será necessário escrever a nossa curva em relação ao eixo de rotação. Por isto, faremos uma translação vertical da nossa função antes de calcularmos o volume!

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta x = 2 , utilizaremos o método dos anéis. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ c d A y d x = ∫ c d π R y 2 - r y 2   d y

Em que R y e r ( y ) são funções que definem os raios externos e internos dos anéis transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem são essas curvas!

Agora fica claro quem é a nossa função! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, ela é:

R y = y 2

r y = 1

Observe que para obter a função R ( y ) , a incógnita x foi isolada na equação da reta y = 2 x .

Passo 3

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

As funções R ( y ) e r ( y ) que obtivemos estão escritas em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo x e eixo y . Precisamos escrever estas curvas em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo y corresponde à reta x = 2 transladada para à esquerda em 2 unidades, as nossas funções devem ser transladadas para à esquerda em 2 unidades também! Portanto, temos:

R t y = R y - 2 = y 2 - 2

r t y = r y - 2 = 1 - 2 = - 1

Vamos pegar o valor absoluto da função, só para fins de sentido, pois como R t ( y ) e r t ( y ) determinam um raio, ele deve ser maior que 0. Portanto,

R t y = 2 - y 2

r t ( y ) = 1

Passo 4

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 2, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 2 π 2 - y 2 2 - 1 2 d y

V = ∫ 0 2 π 4 - 2 y + y 2 4 - 1 d y

V = ∫ 0 2 π 3 - 2 y + y 2 4 d y

V = π 3 y - y 2 + y 3 12 0 2 = π 6 - 4 + 8 12

V = 8 π 3

Resposta

V = 8 π 3

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33. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do exercício 32.
32. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pela reta que passa por (1,3) e (3, 7) e pelas retas y = 3 , y = 7 e x = 0.
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