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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno

  1. Do eixo x .
  2. Do eixo y .
  3. Da reta y = 2 .
  4. Da reta x = 4 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação aos eixos coordenados, x e y , e em relação a retas paralelas a eles. Para cada um dos casos, discutiremos um pouco a metodologia necessária para calculá-los. Entretanto, todos eles possuem uma necessidade em comum: esboçar a região limitada! Começaremos por entender como é esta região.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta x = 4 , uma reta paralela ao eixo y , utilizaremos o método dos anéis. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ c d A y d x = ∫ c d π R y 2 - r y 2   d y

Em que R y e r ( y ) são as funções que definem os raios externos e internos da nossa figura. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem são essas curvas!

Agora fica claro quem são nossas funções! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, elas são:

R y = 0

r y = y 2

Passo 3

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

As funções R ( y ) e r ( y ) que obtivemos estão escritas em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo x e eixo y . Precisamos escrever estas curvas em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo y corresponde à reta x = 4 transladada para à esquerda em 4 unidades, as nossas funções devem ser transladadas para à esquerda em 4 unidades também! Portanto, temos:

R t y = R y - 4 = - 4

r t y = r y - 4 = y 2 - 4

Passo 4

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 2, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 2 π - 4 2 - y 2 - 4 2 d y

V = ∫ 0 2 π 16 - ( y 4 - 8 y 2 + 16 ) d y

V = ∫ 0 2 π - y 4 + 8 y 2 d y

V = π - y 5 5 + 8 y 3 3 0 2 = π - 32 5 + 64 3

V = 224 π 15

Resposta

V = 224 π 15

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