Enunciado

Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( b > a ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 / 2 , uma vez que é a área de um semicírculo de raio a).

Passo 1

Precisamos obter o volume de toro. Ele é dado pela rotação de um disco em torno de uma reta paralela ao eixo y . Inicialmente, esboçaremos a nossa região limitada, deixando claro a metodologia de integração necessária para resolvermos o nosso problema.

Entretanto, temos que tomar um grande cuidado. Por se tratar de retas paralelas aos eixos coordenados, será necessário escrever a nossa curva em relação ao eixo de rotação. Por isto, faremos uma translação vertical da nossa função antes de calcularmos o volume!

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas. Para valores quaisquer de a e b , desde que b > a , temos a seguinte região.

Em destaque temos a região limitada pelo disco e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta x = b , utilizaremos o método dos anéis. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ c d A y d x = ∫ c d π R y 2 - r y 2   d y

Em que R y e r ( y ) são funções que definem os raios externos e internos dos anéis transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem são essas curvas!

Agora fica claro quem são as nossas funções! R ( y ) é o lado esquerdo do disco, em que x < 0 , e r ( y ) o lado em que x > 0 . Portanto, as suas funções são:

R y = - a 2 - y 2

r y = a 2 - y 2

Passo 3

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

As funções R ( y ) e r ( y ) que obtivemos estão escritas em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo x e eixo y . Precisamos escrever estas curvas em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo y corresponde à reta x = b transladada para à esquerda em b unidades, as nossas funções devem ser transladadas para à esquerda em b unidades também! Portanto, temos:

R t y = R y - b = - a 2 - y 2 - b

r t y = r y - b = a 2 - y 2 - b

Vamos pegar o valor absoluto da função, só para fins de sentido, pois como R t ( y ) determina um raio, ele deve ser maior que 0. Portanto,

R t y = a 2 - y 2 + b

r t y = b - a 2 - y 2

Passo 4

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são - a e a , respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ - a a π a 2 - y 2 + b 2 - b - a 2 - y 2 2 d y

V = ∫ - a a π a 2 - y 2 + 2 b a 2 - y 2 + b 2 - b 2 - 2 b a 2 - y 2 + a 2 - y 2 d y

V = ∫ - a a π 4 b a 2 - y 2 d y

V = 4 π b ∫ - a a a 2 - y 2 d y

Utilizando a sugestão da questão, sabemos que ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 / 2 . Portanto, o volume do toro é:

V = 4 π b ⋅ π a 2 2 = 2 π 2 b a 2

Resposta

V = 4 π b ⋅ π a 2 2 = 2 π 2 b a 2

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