Enunciado

Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.

O sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y e z = 2 + y .

Passo 1

Os planos z = 3 y e z = 2 + y serão as “tampas” do sólido. Fazendo 3 y = 2 + y , obtemos que a interseção ocorre em y = 1 . Assim, no plano x y o domínio de integração será

Assim, o volume será

V = ∬ D 2 + y - 3 y   d A = ∬ D 2 - 2 y   d A

Logo,

V = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 2 - 2 y   d y   d x

Passo 2

Efetuando a integral em y :

V = ∫ - 1 1 2 y - y 2 x 2 1 d x

2 y - y 2 x 2 1 = 2 - 1 - ( 2 x 2 + x 4 )

V = ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 d x

Integrando com respeito o x :

V = ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 d x = x - 2 x 3 3 + x 5 5 - 1 1

Passo 3

Como queremos calcular o volume fazemos:

V = ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 d x = 2 x - 2 x 3 3 + x 5 5 0 1

V = 2 x - 2 x 3 3 + x 5 5 0 1 = 2 1 - 2 3 + 1 5 - 0

V = 2 15 - 10 + 3 15 = 16 15

Resposta

V = 16 15   u n i d a d e s

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros z = x 2 , y = x 2 e os planos z = 0 , y = 4 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelos cilindros parbólicos y = 1 - x 2 , y = x 2 - 1 e pelos planos x + y + z = 2 , 2 x + 2 y - z + 10 = 0 .
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.