Enunciado

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 2   s e n   4 θ

Passo 1

O gráfico de   r = 2   s e n   4 θ é:

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 0 ,   0 ) e da uma volta inteira ( 0 ,   2 π ) , ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 3

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r =   2   s e n   4 θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ∙ 4   s e n 2 4 θ   d θ = 2 ∫ 0 2 π s e n 2 4 θ   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

A = 2 ∫ 0 2 π 1 2 1 - cos ⁡ 8 θ   d θ = ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 8 θ   d θ

A = θ - s e n   8 θ 8 0 2 π = 2 π - 0 - 0 - 0 = 2 π

Resposta

A = 2 π

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