Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 35
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.
O sólido limitado pelos cilindros parbólicos , e pelos planos , .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
O primeiro passo é esboçar as curvas para identificar os pontos de intersecção:
Passo 2
Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Sabendo que precisamos saber quem será e quem será .
Fazendo uma simples observação, é possível notar que:
Portanto:
E:
Logo:
Vamos resolver a integral de dentro:
Agora, aplicando os limites de integração, temos:
Logo, substituindo, temos:
Passo 3
Agora é só resolver:
Fazendo as contas, temos:
Resposta
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Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2 e pelo plano y = 5 .
Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = ± 1 , y = 0ey = 4 .
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0ey = 1 .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0 e acima do retângulo R = { x , y ,- 1 ≤ x ≤ 2e - 1 ≤ y ≤ 1 } .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3 y 2 - x 2 + 2 , e acima do retângulo R = - 1,1 × [ 1 , 2 ] .