Enunciado

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x   d y   d x

Passo 1

O probleme fornece para gente uma integral iterada e queremos saber qual é o sólido cujo volume é dado por ela.

Vamos lembrar que o volume de um sólido limitado pelo plano x y e uma superfície dada pela função z = f x ,   y é a integral dupla dessa função num determinado domínio.

Vamos identificar primeiro o domínio no plano x y . Observe que x varia entre 0 e 1 enquanto y varia entre 0 e 1 - x 2 . Assim, o domínio de integração é representado por

Passo 2

Com isso, o sólido será a região abaixo da superfície z = 1 - x sobre a região pintada em vermelho do passo anterior (no plano x y ). A seguir, represento o domínio de integração em três dimensões:

Agora temos que olhar para a superfície z = 1 - x . Trata-se de um plano. Note que esse plano não depende da coordenada y . A seguir, represento o plano em toda a extensão do desenho:

Observe que esse ainda não é o esboço do sólido que procuramos, pois ele deve estar restrito ao domínio em vermelho no plano x y . A seguir faço o esboço da região restrita ao sólido:

Resposta

Esboço de gráfico.

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Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , você terá um pequeno problema, pois a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem u
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .
Determine a área da parte da superfície z = x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 0,2 .
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Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = ± 1 , y = 0ey = 4 .