Enunciado

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x   d y   d x

Passo 1

E aii, galera!

Nessa questão a gente precisa esboçar um sólido, e o volume dele é dado por essa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x   d y   d x

Pra isso, a gente vai lembrar que uma integral desse tipo:

∬ D f x , y d A

Representa o volume do sólido entre o gráfico de z = f x , y e o plano x y , em um domínio D .

Precisamos então descobrir quem é D e f , e ai conseguimos desenhar!

Passo 2

Vamos identificar primeiro o domínio no plano x y . Observe que x varia entre 0 e 1 enquanto y varia entre 0 e 1 - x 2 . Assim, o domínio de integração é representado por

Passo 3

A função dentro da integral é:

f x , y = 1 - x

Então a superfície que ela representa é:

z = 1 - x

Isso é um plano, que não depende de y ! Pra desenhar ele a gente consegue desenhar a reta z = 1 - x no plano x z e estender para o 3D:

A região em laranja é o domínio D

Como a integral é sobre D , vamos pegar só a parte do plano sobre esse domínio:

E nosso sólido vai ser a região entre essas duas superfícies:

Resposta

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Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , você terá um pequeno problema, pois a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem u
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .
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Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = 1 , x = - 1 , y = 0ey = 4 .