Enunciado

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = y e x + s e n y i → + e x + x c o s   y j →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ y e x + s e n y ∂ y = e x + c o s y

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ e x + x c o s   y ∂ x = e x + c o s y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das funções, por exemplo F x e integrar em relação a x :

∫ F x d x = ∫ ( y e x + sen ⁡ y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma função só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = y e x + x sen ⁡ y + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = e x + x c o s y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = e x + x c o s   y

E agora vamos igualar os dois lados!

e x + x c o s   y = e x + x c o s y + g ' ( y )

g ' y = 0

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = y e x + x sen ⁡ y + g y

f = y e x + x sen ⁡ y + C

Resposta

f = y e x + x s e n y + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que qualquer campo vetorial da forma F → x , y , z = f x i → + g y j → + h z k → é irrotacional.
a. Fluxo exterior e área Mostre que o fluxo exterior do campo vetorial de posição F = x i + y j através de qualquer curva fechada à qual o teorema de Green se aplica é duas vezes a área da região deli
Quais dos campos nos Exercícios 29-32 são conservativos e quais não são?31. F = x e y i + y e z j + z e x k
Integre F = 3 x 2 y i + x 3 + 1 j + 9 z 2 k ao redor da circunferência cortada da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 pelo plano x = 2 .
Escoamento ao longo de caminhos diferentes - Encontre o escoamento do campo F = ∇ ( x 2 z e y ) .a. uma vez ao redor da elipse C na qual o plano x + y + z = 1 encontra o cilindro x 2 + z 2 = 25 , no s