Enunciado

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada:

(a)   lim Δ x → 0 ⁡ ln ⁡ e 2 + Δ x - 2 x

(b) lim w → 1 ⁡ l n ⁡ ( w ) w - 1

Passo 1

Por definição, a derivada trata-se de um limite, e pode ser dada pela seguinte fórmula:

lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x

No caso desse exercício, vamos separar o nosso limite em uma função, e calcular a derivada dessa função, e será exatamente a mesma coisa que calcular o limite naquele ponto (o ponto de tendência do limite).

Como fazemos isso?

Separando o limite assim:

lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x = f ' ( x + t )

Agora, podemos calcular as derivadas.

Passo 2

  1. lim Δ x → 0 ⁡ ln ⁡ e 2 + Δ x - 2 Δ x
  2. Vamos chamar t = l n ⁡ ( e 2 ) e x = Δ x .

    Então, sabemos que f x + t = l n ⁡ e 2 + Δ x e f t = f e 2 = 2 ln ⁡ e = 2 .

    Aplicando o limite:

    lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x = lim Δ x → 0 ⁡ ln ⁡ e 2 + Δ x - 2 ln ⁡ 1 Δ x

    Como f x + t = ln ⁡ e 2 + Δ x , sua derivada será:

    f ' x + t = 1 e 2 + x

    Aplicando a derivada em x → 0

    f ' ( 0 ) = 1 e 2 + 0 = 1 e 2

    Então, podemos dizer que:

    lim Δ x → 0 ⁡ ln ⁡ e 2 + Δ x - 2 ln ⁡ 1 Δ x = f ' ( 0 ) = 1 e 2

    Passo 3

  3. lim w → 1 ⁡ l n ⁡ ( w ) w - 1

Vamos chamar t = 1 e x = w .

Então, sabemos que f x + t = l n ⁡ ( w ) e f t = f 1 = ln ⁡ 1 = 0 .

Aplicando o limite:

lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x = lim w → 1 ⁡ ln ⁡ w - ln ⁡ 1 w - 1

Como f x + t = ln ⁡ w , sua derivada será:

f ' x + t = 1 w

Aplicando a derivada em w → 0

f ' 1 = 1 1 = 1

Então, podemos dizer que:

lim w → 1 ⁡ ln ⁡ w - ln ⁡ 1 w - 1 = f ' 1 = 1

Resposta

(a)     lim Δ x → 0 ⁡ ln ⁡ e 2 + Δ x - 2 ln ⁡ 1 Δ x = f ' ( 0 ) = 1 e 2

(b)     lim w → 1 ⁡ ln ⁡ w - ln ⁡ 1 w - 1 = f ' 1 = 1

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