Enunciado

É dado um triângulo A B C com ∠ A = θ e A C = b . C D é desenhado perpendicularmente a A B , D E é desenhado perpendicularmente a B C , E F ⊥ A B , e esse processo continua indefinidamente, como mostrado na figura. Calcule o comprimento total de todas as perpendiculares

| C D | + | D E | + | E F | + | F G | + …

Em termos de b e θ .

Passo 1

Sempre que o enunciado traça uma reta, da pra ver na imagem que ela forma um novo triangulo reto. Podemos ver também que essa nova reta é sempre oposta ao ângulo θ . Vamos usar isso pra começar a achar a sequencia do comprimento das retas, que vou chamar de { r n } , então a gente tá buscando

∑ n = 1 ∞ r n

Para isso, vamos ter que procurar uma fórmula para r n .

Passo 2

Pensando no primeiro triangulo A C D

Temos que r 1 = C D é oposto ao ângulo θ , e que a hipotenusa é b , utilizando a fórmula do seno, cateto oposto sobre hipotenusa

sen ⁡ θ = C O h

sen ⁡ θ = r 1 b

Isolando r 1

r 1 = b sen ⁡ θ

Para o segundo triangulo C D E

Temos r 2 = D E oposto a θ novamente e a hiponesua é r 1 , com a mesma relação

sen ⁡ θ = r 2 r 1

r 2 = r 1 sen ⁡ θ

Substituindo r 1

r 2 = b sen ⁡ θ sen ⁡ θ

r 2 = b sen 2 ⁡ θ

E dessa forma vai seguir, o próximo triangulo vai ter hipotenusa r 2 , então

r 3 = r 2 sen ⁡ θ

r 3 = b sen 3 ⁡ θ

E de forma geral

r n = b sen n ⁡ θ

E a nossa série tem a cara

∑ n = 1 ∞ b sen n ⁡ θ

Passo 3

Essa série tem a cara de uma geométrica, basta manipular

∑ n = 1 ∞ b sen n ⁡ θ = ∑ n = 1 ∞ b sen ⁡ θ sen n - 1 ⁡ θ

E essas séries nós conseguimos achar um valor para r < 1 , neste caso r = sen ⁡ θ , e como o ângulo está 0 < θ < π / 2 , porque se for maior que π / 2 não conseguimos um triangulo reto e igual a π / 2 não é possível pois o outro ângulo já é reto e não conseguiríamos fechar o triangulo e se for igual a 0 , não teríamos triangulo. Neste intervalo o seno vale entre 0 < sen ⁡ θ < 1 , portanto r < 1 e a série converge para

∑ n = 1 ∞ b sen ⁡ θ sen n - 1 ⁡ θ = b sen ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ

Resposta

C D + D E + E F + F G + … = b sen ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ

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