2) Calcule o volume dos sólidos abaixo:

g)

W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x 2 + y 2 ≤ 2 y .

Passo 1

Vamos lá. Antes de começar a fazer umas continhas, vamos entender que sólido é esse. Temos a equação de uma esfera e a de um cilindro, teremos algo parecido com:

O sólido que queremos calcular o volume está compreendido na interseção entre a esfera e o cilindro. A esfera (vermelho) está sendo cortada por esse cilindro (verde). A esfera tem raio r = 2 , enquanto o cilindro tem o raio r = 1 . A gente pode ver isso, analisando a expressão que foi fornecida. Para o cilindro, temos:

x 2 + y 2 = 2 y

Completando quadrados, teremos:

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + y - 1 2 - 1 = 0

x 2 + y - 1 2 = 1

Para a esfera temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Podemos ver que o raio dessa esfera será r = 2

Passo 2

Okay, agora já sabemos algumas coisas a respeito desse sólido aí. Agora, para calcular o volume desse sólido, precisamos calcular a seguinte integral:

∭ d x   d y   d z

Mas não é tão interessante calcular essa integral dessa maneira, então vamos mudar essas variáveis, vamos mudar as variáveis para um sistema de coordenadas cilíndricas, utilizando:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Temos que o jacobiano da mudança de coordenadas cilíndricas é dado por   J = r . Assim, vamos calcular a seguinte integral:

∭ r   d r   d θ   d z

Passo 3

Vamos agora encontrar os intervalos de integração que vamos utilizar.

Começando por r , teremos que:

x 2 + y 2 = 2 y → r 2 sen 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = 2 r sen ⁡ θ  

r 2 ( sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) = 2 r sen ⁡ θ

r 2 = 2 r sen ⁡ θ → r = 2 sen ⁡ θ

Ou seja, teremos que r irá variar de 0 ≤ r ≤ 2 sen ⁡ θ .

Em z , teremos o seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → r 2 sen 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 = 4

r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + z 2 = 4

z 2 = 4 - r 2 → z = ± 4 - r 2

Ou seja, teremos uma variação em z de - 4 - r 2 ≤ z ≤ 4 - r 2 .

Em θ , teremos uma variação de 0 ≤ θ ≤ π . Isso é por causa que o cilindro não ocupa todo o plano cartesiano, apenas metade dele, não rotacionando por todo o plano. Podemos observar isso olhando de uma outra perspectiva, note:

Em vermelho temos o cilindro, dentro da esfera.

Passo 4

Agora vamos calcular a integral, temos então:

V = ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ ∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z   d r   d θ

Agora repare o seguinte: Para a integração em z , podemos simplificar nossa integral justamente por ela ser simétrica. Podemos fazer a integral considerando o intervalo 0 ≤ z ≤ 4 - r 2 . Dessa forma, podemos multiplicar por 2 a integral e encontraremos o mesmo valor!

Ficamos então com:

V = 2 ⋅ ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ ∫ 0 4 - r 2 r   d z   d r   d θ

Resolvendo a primeira integral:

V = 2 ⋅ ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ r 4 - r 2   d r   d θ

Essa integral em d r parece ser um pouco complicada, mas não é tanto assim. Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:

u = 4 - r 2

Dessa forma, teremos:

d u =   - 2 r   d r

Ou seja:

r   d r =   - 1 2 d u

Aplicando nos limites de integração, teremos o seguinte:

r = 0 → u = 4

r = 2 s e n θ → u =   4 - 4   s e n 2 θ

Repare que podemos simplificar essa última expressão, se lembrarmos que

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

Com essa arma poderosíssima, temos o seguinte:

r = 2 s e n θ → u =   4 1 -   s e n 2 θ

Dessa forma:

r = 2 s e n θ → u = 4 cos 2 ⁡ θ

Aplicando naquela integral que queríamos resolver, teremos:

∫ 0 2 s e n θ r 4 - r 2   d r = ∫ 4 4 cos 2 ⁡ θ - 1 2 u   d u

Simplificando mais um pouco, teremos o seguinte:

- 1 2 ∫ 4 4 cos 2 ⁡ θ u   d u = 1 2 ∫ 4 cos 2 ⁡ θ 4 u   d u

Resolvendo a integral, temos:

1 2 ⋅ 2 3 u 3 2 4 cos 2 ⁡ θ 4 = 1 3 4 3 2 - 4 cos 2 ⁡ θ 3 2

Simplificando, temos:

1 3 8 - 8 cos 3 ⁡ θ

Agora jogamos esse resultando na integral que estávamos resolvendo:

V = 2 ⋅ ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ r 4 - r 2   d r   d θ

Substituindo o valor da integral de dentro, temos:

V = 2 3 ⋅ ∫ 0 π 8 1 - cos 3 ⁡ θ   d θ

Agora repare! Antes da gente sair fazendo substituição outra vez! A função cos 3 ⁡ θ é uma função ímpar! A gente pode verificar isso justamente por que:

cos 3 ⁡ π - θ = - c o s θ 3 = - cos 3 ⁡ θ

Além disso, ela é simétrica em torno de π 2 . Sendo assim, a integral dessa função de 0 até a   π , por definição, será nula! Isso poupa muito trabalho pra gente, viu? 😊

Agora, nossa integral será:

V = 2 3 ⋅ ∫ 0 π 8   d θ = 16 π 3

Resposta

Daí, o volume do sólido é V o l u m e   W = 16 π 3 .

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