Calcule ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 x - x 2 d y ∫ 0 a z x 2 + y 2 d z .

Passo 1

Vamos encarar juntos essa questão aí, vão bora!

Se formos calcular essa integral da maneira como ela está, sentiremos uma certa dificuldade. Vamos pegar o limite de integração relacionado a y, e vamos ver em que espaço estamos integrando.

Temos,

2 x - x 2 = y

2 x - x 2 = y 2

x 2 + y 2 = 2 x → x - 1 2 + y 2 = 1

Beleza, temos uma circunferência deslocada no plano XY de raio 1. Como estamos trabalhando em 3 dimensões e temos uma componente z, vamos aplicar uma mudança de variáveis utilizando coordenadas cilíndricas, daí:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Lembrando que o jacobiano das coordenadas cilíndricas é dado por   J = r .

Passo 2

Beleza, estamos no caminho. A nossa integral em coordenadas cilíndricas vai ter essa cara:

∫ 0 a ∫ ∫ z x 2 + y 2 r   d r   d θ   d z → ∫ 0 a ∫ ∫ z r 2 ( sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) r   d r   d θ   d z = ∫ 0 a ∫ ∫ z r 2 r   d r   d θ   d z = ∫ 0 a ∫ ∫ z r 2   d r   d θ   d z  

Vamos então descobrir os intervalos de integração que usaremos.

Temos que para r , teremos que:

x 2 + y 2 = 2 x

r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 2 r cos ⁡ θ → r = 2 cos ⁡ θ

Assim, 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ .

Para θ , observe a figura.

Essa é a circunferência dada por x - 1 2 + y 2 = 1 . Observe que, no nosso intervalo, estamos tratando com um valor positivo, ou seja, só a parte superior da circunferência. Daí, teremos que para formar esse pedaço da circunferência, a variação de θ deve ser de 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

Passo 3

Daí, calculando a integral:

∫ 0 a ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2   z   d r   d θ   d z = ∫ 0 a ∫ 0 π 2 8 3 cos 3 ⁡ θ   z   d θ   d z = 8 3 ∫ 0 a z 1 - 1 3 d z = 16 9 ∫ 0 a z d z = 8 9 a 2  

Resposta

O resultado da integral é 8 9 a 2 .

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