Enunciado

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

23. f x = x 3 - 2 x + 4 ,   a = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para determinar a série de Taylor de f em x = 2 , precisamos determinar as derivadas da função f . Como a função é uma função cúbica, em algum ponto, as derivadas serão iguais a 0 (a partir da quarta derivada),

f ' x = 3 x 2 - 2

f ' ' x = 6 x - 0 = 6 x

f ' ' ' x = 6 ∙ 1 = 6

f ' ' ' ' x = 0

Portanto, para todo k ≥ 4 ,   k ∈ N , a k-ésima derivada da função é igual a 0 .

f k x = 0 ,   k ≥ 4 ,   k ∈ N

Passo 2

A série de Taylor de f no ponto x = 2 , será igual a

∑ k = 0 ∞ f k 2 k ! x k = f 2 + f ' 2 1 ! x - 2 1 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! x - 2 3

No ponto x = 2 , temos que

f 2 = 2 3 - 2 ∙ 2 + 4 = 8

f ' 2 = 3 ∙ 2 2 - 2 = 10

f ' ' 2 = 6 ∙ 2 = 12

f ' ' ' 2 = 6

Incorporando esse fato na série de Taylor, obtemos que

∑ k = 0 ∞ f k 2 k ! x k = 8 + 10 ∙ x - 2 + 12 2 x - 2 2 + 6 6 x - 2 3

Portanto,

∑ k = 0 ∞ f k 2 k ! x k = x - 2 3 + 3 x - 2 2 + 6 x - 2 + 8

Resposta

x - 2 3 + 3 x - 2 2 + 6 x - 2 + 8

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