Discuta a continuidade das funções abaixo:

b   f x ,   y = x 3 y 2 x 8 + y 4 ,               s e   x ,   y ≠ 0 ,   0 0           ,           s e   x ,   y = 0 ,   0

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto 0 ,   0 , ou seja:

f 0 ,   0 = 0

E verificar se o limite da função f x ,   y tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y = 0

Passo 2

Como os valores de x e y são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função para o limite é:

f x ,   y = x 3 y 2 x 8 + y 4

Então, precisamos calcular:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 8 + y 4

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 8 + y 4 = 0 0

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores na parábola y = x 2 .

Passo 3

Dessa forma, substituindo y = x 2 :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 8 + y 4 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 4 x 8 + x 2 4

Temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 8 + y 4 = lim x → 0 ⁡ x 7 x 8 + x 8

Isso pode ser reescrito como:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 8 + y 4 = lim x → 0 ⁡ 1 2 x 8 x 7 = lim x → 0 ⁡ 1 2 x

Agora, se substituirmos o valor de x :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 8 + y 4 = + ∞

Que é um resultado indeterminado.

Assim, visto que o limite teve um resultado infinito, concluímos que a função não é contínua para x ,   y = 0 ,   0 . No entanto, não há outros pontos além de 0 ,   0 que tornariam a nossa função indefinida, por isso ela é contínua para todos os outros valores, ou seja, em R 2 exceto esse ponto em específico.

Em outras palavras, ela é contínua em R 2 - 0 ,   0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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