Enunciado

Discuta a continuidade das funções abaixo:

(b) f (x , y) = {[[(x^3 y^2)/(x^8 + y^4) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = (0 , 0)]])

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto (0 , 0) , ou seja:

f (0 , 0) = 0

E verificar se o limite da função f (x , y) tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y) = 0

Passo 2

Como os valores de x e y são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função para o limite é:

f (x , y) = (x^3 y^2)/(x^8 + y^4)

Então, precisamos calcular:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3 y^2)/(x^8 + y^4)

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3 y^2)/(x^8 + y^4) = (0)/(0)

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores na parábola y = x^2 .

Passo 3

Dessa forma, substituindo y = x^2 :

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3 y^2)/(x^8 + y^4) = underset(x -> 0)(lim) (x^3 x^4)/(x^8 + (x^2)^4)

Temos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3 y^2)/(x^8 + y^4) = underset(x -> 0)(lim) (x^7)/(x^8 + x^8)

Isso pode ser reescrito como:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3 y^2)/(x^8 + y^4) = underset(x -> 0)(lim) (1)/((2 x^8)/(x^7)) = underset(x -> 0)(lim) (1)/(2 x)

Agora, se substituirmos o valor de x :

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3 y^2)/(x^8 + y^4) = + oo

Que é um resultado indeterminado.

Assim, visto que o limite teve um resultado infinito, concluímos que a função não é contínua para (x , y) = (0 , 0) . No entanto, não há outros pontos além de (0 , 0) que tornariam a nossa função indefinida, por isso ela é contínua para todos os outros valores, ou seja, em R^2 exceto esse ponto em específico.

Em outras palavras, ela é contínua em R^2 - {(0 , 0)} .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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