Enunciado

Discuta a continuidade das funções abaixo:

(a) f (x , y) = {[[(x y)/(|x| + |y|) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = (0 , 0)]])

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto (0 , 0) , ou seja:

f (0 , 0) = 0

E verificar se o limite da função f (x , y) tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y) = 0

Passo 2

Como os valores de x e y são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função é:

f (x , y) = (x y)/(|x| + |y|)

Então, precisamos calcular:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y)/(|x| + |y|)

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y)/(|x| + |y|) = (0)/(0)

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores em cada eixo coordenado (nos eixos de x e y ).

Passo 3

Dessa forma, para o eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset(x -> 0)(lim) f (x , 0) = underset(x -> 0)(lim) (x (0))/(|x| + 0) = 0

Agora, para o eixo dos y , x = 0 , tal que:

underset(y -> 0)(lim) f (0 , y) = underset(y -> 0)(lim) ((0) y)/(0 + |y|) = 0

Bom, dessa forma, a gente não consegue concluir que o limite não existe. Mas também não podemos dizer que ele existe!! Isso porque nós testamos 2 caminhos diferentes, mas ainda existem vários outros.

Então, não podemos afirmar nada sobre essa função.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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