∫ d x ( 2 x + 1 ) 4 x 2 + 4 x  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

4 x 2 + 4 x =   4 x 2 + 4 x + 1 - 1 = 2 x + 1 2 - 1    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Seja

2 x + 1 = s e c θ

Derivando com relação a x a equação acima

d 2 x + 1 d x = d ( s e c θ ) d x ⟹ secθtgθ ⁡ d θ d x = 2 ⟹ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x x 2 + 2 x - 3   =   ∫ d x 2 x + 1 2 x + 1 2 - 1       = ∫ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ s e c θ s e c θ 2 - 1      

= ∫ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ s e c θ s e c θ 2 - 1       = ∫ 1 2 d θ = 1 2 θ  

Passo 3

Retornando para a variável inicial

1 2 θ = 1 2 a r c s e c ⁡ ( 2 x + 1 )

Resposta

∫ d x ( 2 x + 1 ) 4 x 2 + 4 x   = 1 2 arcsec ⁡ 2 x + 1 + C

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