∫ 0 4 | x 2 - 3 x + 2   | d x    

Passo 1

Como estamos trabalhando com o módulo de x 2 - 3 x + 2 significa que toda a parte que seria negativa da função vai ser rebatida para cima do eixo x e ficar positiva.

Em questões desse tipo vamos sempre analisar a função em intervalos

A soma das raízes desse polinômio é 3 e o produto é 2, logo as raízes são 1 e 2, como ele tem concavidade para cima ele terá essa cara nosso gráfico

f x = x 2 - 3 x + 2   = - x 2 - 3 x + 2 ,                                   x ≤ 1 x 2 + 3 x - 2 ,     1 < x < 2 x 2 - 3 x + 2 ,                                   x ≥ 2

Olha como fica a visualização da nossa integral

Passo 2

Lembra da nossa regra..

∫ b a f x + g ( x ) d x = ∫ b a f ( x ) d x +   ∫ b a g ( x ) d x

Vamos utilizá-la aqui

∫ 0 4 | x 2 - 3 x + 2   | =    

=   ∫ 0 1 ( x 2 - 3 x + 2   ) d x + ∫ 1 2 ( - x 2 + 3 x - 2   ) d x + ∫ 2 4 ( x 2 - 3 x + 2   ) d x

= x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x ​ 0 → 1 - x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x ​ 1 → 2 + x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x ​ 2 → 4

1 3 - 3 2 + 2 - 8 3 + 12   2 - 4 + 1 3 - 3 2 + 2 + 64 3 - 48 2 + 8 - 8 3 + 12 2 - 4 = 17 3

Resposta

∫ 0 4 | x 2 - 3 x + 2   | d x   = 17 3    

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