Enunciado

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

17. ∫ 1 3 d x x x + 1

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 1 3 d x x x + 1

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = x

E disso também tiramos que:

x + 1 = u 2 + 1

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = 1 2 x d x

∴ 2 d u = 1 x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 1 3 d x x x + 1 = 2 ∫ 1 3 d u u 2 + 1

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = x

u 1 = 1

u 3 = 3

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

2 ∫ 1 3 d u u 2 + 1 = 2 a r c   t g   u 3 1

2 ∫ 1 3 d u u 2 + 1 = 2 a r c   t g   3 - a r c   t g   1 = π 6

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

2 ∫ 1 3 d u u 2 + 1 = 2 a r c   t g   u 3 1

2 ∫ 1 3 d u u 2 + 1 = 2 a r c   t g   x 3 1 = 2 a r c   t g   3 - a r c   t g   1 = π 6

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 1 3 d x x x + 1 = π 6

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