∫ d x ( 2 x - 1 ) x 2 - x + 5 4  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x 2 + x - 3 =   x - 1 2 2 + 1  

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Seja

x - 1 2 = t g θ

Derivando com relação a x a equação acima

d x - 1 2 d x = d ( t g θ ) d x ⟹ se c 2 θ ⁡ d θ d x = 1 ⟹ se c 2 θ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x 2 x - 1 x 2 - x + 5 4   = ∫ d x 2 x - 1 x - 1 2 2 + 1   = ∫ se c 2 θ ⁡ d θ 2 t g θ t g θ 2 + 1  

= 1 2 ∫ c s c θ d θ = - 1 2 ln ⁡ | c s c θ + c t g θ |

Passo 3

Retornando a variável inicial

- 1 2 ln ⁡ | c s c θ + c t g θ | =   - 1 2 ln ⁡ 4 + 2 x - 1 2 2 x - 1 + 2 2 x - 1

Resposta

∫ d x ( 2 x - 1 ) x 2 - x + 5 4   = - 1 2 ln ⁡ 4 + 2 x - 1 2 2 x - 1 + 2 2 x - 1 + C

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