∫ d x x 2 + x + 1  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x 2 + x + 1 =   x 2 + x + 1 4 + 3 4 = x + 1 2 2 + 3 4    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Seja

x + 1 2 = 3 2 t g θ ,   θ   ϵ   [ - π 2 , π 2 ]

Derivando com relação a x a equação acima

d x + 1 2 d x = d ( 3 2 t g θ ) d x ⟹ 3 2 sec 2 θ ⁡ d θ d x = 1 ⟹ 3 2 sec 2 θ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x x 2 + x + 1   =   ∫ d x x + 1 2 2 + 3 4       = ∫ 3 2 sec 2 θ ⁡ d θ 3 2 t g θ 2 + 3 4       = ∫ 3 2 sec 2 θ ⁡ d θ 3 4 ( t g 2 θ + 1 )      

∫ 3 2 sec 2 θ ⁡ d θ 3 4 ( s e c 2 θ )       = ∫ s e c θ   d θ = ln ⁡ s e c   θ + t g   θ  

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln ⁡ s e c   θ + t g   θ   = ln ⁡ | 2 x + 1 3 + 2 x + 1 2 3   + 1 |

Resposta

∫ d x x 2 + x + 1   = ln ⁡ | 2 x + 1 3 + 2 x + 1 2 3   + 1 | + C

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