Enunciado

67- Encontre o limite lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n s e n k π n n calculando uma integral apropriada no intervalo [0,1]

Passo 1

Bom, o próprio exercício já nos da a dica de encarar essa soma como uma integral no intervalo [0,1], certo? Mas antes vamos pensar em como fazer isso.

Vamos lembrar a definição de integral:

∫ a b f x d x = ∑ n = 1 ∞ f ( x n ) ∆ x

Onde xn é um ponto do intervalo [ k - 1 n , k n ] e ∆ x é o tamanho de cada intervalo após fazer as divisões.

Existe uma correspondência entre somas infinitas e integrais, então vamos tentar fazer algo parecido. Primeiro vamos pegar o intervalo [0,1] e dividi-lo em n sub-intevalos de tamanho igual, da mesma forma que fizemos antes, assim teremos que a forma os intervalos serão da forma [ k - 1 n , k n ] e o tamanho de cada intervalo será de 1 k .

Passo 2

Após fazer nossas escolhas, vamos ver como isso nos leva acorrespondencia citada acima. Como já dito, para cada pedacinho n do intervalo [0,1] nós devemos escolher um ponto xn , de forma que: x n = k n . Note também que para o nosso tamanho do intervalo nós temos ∆ x = 1 n

Rearranjando e substituindo tudo na série que tinhamos no inicio, obtemos:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n s e n k π n n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n s e n k π n . 1 n =   lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 1 n s e n x n π . ∆ x = ∫ 0 1 s e n x π d x

Passo 3

Agora que fizemos a correspondência e encontramos a integral, falta apenas calculá-la. Essa integral pode ser resolvida usando substituição simples e, depois disso, o teorema fundamental do cálculo. Fazendo :

u = x π d u = π d x < = >   d x = d u π

Note que:

x = 0 = > u = 0 x = 1 = > u = π

Daí temos a seguinte integral:

1 π ∫ 0 π s e n u d u = - cos ⁡ π - cos ⁡ 0 π =   - 2 π

Resposta

- 2 π

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31-50. Calcule as integrais por qualquer método.38. ∫ 0 π 4 t gx . s e c 2 x d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.18. ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 e - x 1 - e - 2 x
31-50. Calcule as integrais por qualquer método.34. ∫ π 2 π 6 s e nx cos ⁡ x + 1 5 d x