Usando a substituição z = tan(1/2 \* x) , prove que

∫ c o s s e c   x   d x = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C

Passo 1

A questão pede calcularmos a integral da cossecante usando a substituição z = tan ⁡ 1 2 x . Na seção do livro, é mostrado que nessa substituição, valem as fórmulas:

s e n   x = 2 z 1 + z 2

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

d x = 2 1 + z 2   d z

*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.

Lembrando que cossecante é 1 sobre seno:

∫ c o s s e c   x   d x = ∫ 1 s e n   x   d x

Fazendo a substituição:

I = ∫ c o s s e c   x   d x = ∫ 1 2 z 1 + z 2   2 1 + z 2   d z = ∫ 1 z   d z

Passo 2

Calculando a integral:

I = ln ⁡ z + C

Agora precisamos voltar a variável x e para isso, vamos usar a expressão do cosseno:

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

Assim, multiplicando em cruz

1 + z 2 cos ⁡ x = 1 - z 2 ⇒ cos ⁡ x + cos ⁡ x   z 2 = 1 - z 2

Portanto,

z 2 + cos ⁡ x   z 2 = 1 - cos ⁡ x ⇒ 1 + cos ⁡ x   z 2 = 1 - cos ⁡ x

Logo,

z = 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x  

Passo 3

Assim, temos que

I = ∫ c o s s e c   x   d x = ln ⁡ z + C = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados