Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 1 - x 3 ; - 3 , - 1

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = - 1 + 3 n = 2 n

x k * = - 3 + 2 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 - - 3 + 2 k n 3 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 - 8 k 3 n 3 + 36 k 2 n 2 - 54 k n + 27 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ 2 n ∑ k = 1 n 1 - 8 k 3 n 3 + 36 k 2 n 2 - 54 k n + 27

Vamos separar e calcular os somatórios agora...

A = l i m n → ∞ 2 n ∑ k = 1 n 1 - 8 n 3 ∑ k = 1 n k 3 + 36 n 2 ∑ k = 1 n k 2 - 54 n ∑ k = 1 n k + 27 ∑ k = 1 n 1  

A =   l i m n → ∞ 2 n n - 8 n 3 n n + 1 2 2 + 36 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 - 54 n n n + 1 2 + 27 n

A = l i m n → ∞ 2 n n - 2 n n + 1 2 + 6 n 2 n 2 + 3 n + 1 - 27 n + 1 + 27 n  

A = l i m n → ∞ 2 - 4 - 4 n - 4 n 2 + 24 + 36 n + 12 n 2 - 54 - 54 n + 54    

A = 22

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da direita😊

Resposta

A = 22

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