Seja f x , y = ∫ 0 x 2 + y 2 e - t 2 d t . Calcule

∂f/∂x(x, y) e ∂f/∂y(x, y)

Passo 1

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que, se   F é uma primitiva de f , sendo F t = e - t 2 , então podemos dizer que:

∂ f ∂ x x , y = F x , y

Sabemos também que:

f x , y = ∫ 0 x 2 + y 2 e - t 2 d t = f x 2 + y 2 - f 0

Assim:

∂ f ∂ x x 2 + y 2 - ∂ f ∂ x 0 = 2 x × ∂ f ∂ x - 0 × ∂ f ∂ x = 2 x e - x 2 + y 2 2

Passo 2

O mesmo vale pra y:

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que, se   F é uma primitiva de f , sendo F t = e - t 2 , então podemos dizer que:

∂ f ∂ y x , y = F x , y

Sabemos também que:

f x , y = ∫ 0 x 2 + y 2 e - t 2 d t = f x 2 + y 2 - f 0

Assim:

∂ f ∂ y x 2 + y 2 - ∂ f ∂ y 0 = 2 y × ∂ f ∂ y - 0 × ∂ f ∂ y = 2 y e - x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ y = 2 y e - x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 2 x e - x 2 + y 2 2

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