Enunciado

Dizemos que ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico do estacionário de z = f ( x , y ) se ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0 . Determine (caso existam) os pontos críticos da função

f x , y = x 4 + 4 x y + y 4

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis e nos pede para determinar os pontos críticos da mesma, ou seja, os pontos x 0 , y 0 onde esta função fornece ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 .

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos f x , y = x 4 + 4 x y + y 4 . Assim, calculando as derivadas parciais e forçando ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 , obtemos o sistema

∂ ∂ x x 4 + 4 x y + y 4 = 4 x 3 + 4 y = 0 ∂ ∂ y x 4 + 4 x y + y 4 = 4 x + 4 y 3 = 0

Complicou mais agora! Mas vamo lá! Vamos isolar o x na segunda equação e substituir na primeira, obtendo:

x = - y 3 - y 9 + y = 0

A segunda equação representa y 9 = y e possui as soluções reais y = 0 , y = 1 ou y = - 1 , com as x associades sendo x = 0 , x = - 1 e x = 1 , respectivamente.

Logo, a f possui um total de três pontos críticos, a saber: 0,0 , - 1,1 e 1 , - 1 .

Resposta

0,0 , - 1,1 e 1 , - 1

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