Dê o domínio e esboce o gráfico.

m) y = 2 / (x - 1)^2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Essa função é do tipo função racional f x = p x q x . Se vocês não se lembrar dela, é só dar uma olhadinha no exemplo 3 do livro texto, ok?

O domínio de uma função racional do tipo f x = p x q x tem seu domínio dado por:

D o m f = x ∈ R q x ≠ 0 }

Ou seja, para nossa função q x = x 2 , temos que o domínio vai ser onde:

q x = ( x - 1 ) 2 ≠ 0   ∴ x ≠ 1

Assim o domínio pode ser escrito como:

D o m f = x ∈ R x ≠ 1 }

Passo 2

Mas e a cara dela? Essa função tem a mesma cara de uma hipérbole, no entanto, toda parte de baixo, ou seja, negativa, passa a ser positiva, pois temos um ( x - 1 ) 2 embaixo. Outra coisa importante da gente observar é que a cara dela vai ser muito parecida com o gráfico do exercício 15 i , no entando deslocado uma unidade para a direita. Vai ser como se aquele gráfico lá tivesse criado perninhas e dado todo ele um passo pra direita.

Mas temos que fazer uma análise mais formal disso =)

Vamos ao esboço do gráfico?

Vamos primeiro entender o que acontece para x > 0 : à medida que x vai aumentando, y = 2 / ( x - 1 ) 2 vai se aproximando de zero, por exemplo:

  • x = 11 ; y = 2 ( 11 - 1 ) 2 = 2 100 = 0,02
  • x = 101 ; y = 2 ( 101 - 1 ) 2 = 2 10000 = 0,0002

E assim por diante. À medida que x vai se aproximando de 1 , y vai aumentando, saca só:

  • x = 1,5 ; y = 2 ( 1,5 - 1 ) 2 = 2 0,5 2 = 8
  • x = 1,1 ; y = 2 1,1 - 1 2 = 200

E assim por diante. E esse comportamento se repete (sempre fornecendo valores positivos de y ) quando olharmos para valores de x < 0 .

Passo 3

Para esboçar melhor o gráfico, vou escolher quatro valores de x e calcular cada respectivo valor de y :

Então os pontos que pertencem ao gráfico são: 0 ,   2 ; - 1,1 / 2 ; ( 3,1 / 2 ) e ( 2,2 ) . Agora sabendo desses pontos e do comportamento geral da função (descrevemos ali no passo anterior) podemos esboçar o gráfico:

Resposta

D o m f = x ∈ R x ≠ 1 }

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