Enunciado

Um doutor prescreve um comprimido antibiótico de 100   m g a ser tomado a cada oito horas. Pouco antes de cada comprimido ser tomado, 20 % da droga permanece no corpo.

  1. Quanto do antibiótico está no corpo logo após o segundo comprimido ser tomado? E após o terceiro comprimido?
  2. Se Q n é a quantidade de antibiótico no corpo logo após o n-ésimo comprimido ser tomado, encontre a equação que expressa Q n + 1 em termos de Q n .
  3. Que quantidade de antibiótico permanece no corpo a longo prazo?

Passo 1

E aí, galera? Tudo de boa?

Vamos continuando nossa questão: na letra (c) queremos saber a quantidade de antibiótico que permanece no corpo no longo prazo.

Para a gente entender o comportamento de uma série a longo prazo, muitas vezes é útil examinar a soma dos termos da série até um determinado termo n , porque assim conseguimos analisar o comportamento da série a medida que mais e mais termo são adicionados.

Assim vamos descobrir quanto do comprimido o paciente terá em seu corpo depois de muitas horas passadas, a longo prazo, ou seja, um valor n grande. Sabemos que de 8 em 8 horas entram 100mg e que 20% vai acumulando dos períodos anteriores.

Passo 2

Nossa equação para a quantidade de antibiótico no corpo depois no ( n + 1 ) comprido, que é dada por:

Q n + 1 = 100 + 0,2 Q n

Explicando ela novamente aqui, ela basicamente diz que a quantidade de remédio no corpo é a 100 m g somado a 20% da quantidade acumulada das doses anteriores.

No longo prazo, nós temos que Q n + 1 = Q n . Assim, substituindo na equação, temos:

Q n = 100 + 0,2 Q n

Isolando o número 100, temos:

0,8 Q n = 100

Ou seja, conforme os dias vão passando, a longo prazo a quantidade que haverá no corpo do paciente será:

Q n = 100 0,8 = 125   m g

Resposta

No longo prazo, o paciente terá em seu corpo:

Q n = 125   m g

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