Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.2 - Ex. 55

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desse livro

Expresse o número como uma razão de números inteiros.

1,234 567 -

Passo 1

Queremos escrever esse número como uma razão de números inteiros, certo? A primeira coisa que precisamos saber é que quando temos esse traço em cima de um número, isso indica que temos uma dízima. No nosso caso, o número que estamos lidando é:

1,234567567567567567567 …

Esse número pode ser escrito de uma maneira diferente.

1,234567567567567567567 … = 1,234 + 0,000567 + 0,000000567 + 0,000000000567 + …

E se essa soma pudesse ser transformada numa série? Vamos olhar como o primeiro termo da série 0,000567 . O segundo termo é o primeiro termo multiplicado por 0,001 , correto? A mesma coisa vale para o terceiro termo. Então,

1,234567567567567567567 … = 1,234 + ∑ n = 1 ∞ 0,000567 0,001 n - 1

Ou seja, temos aqui uma série geométrica de razão q = 0,001 ! Como a razão da série é menor que 1 , temos que a série é convergente!

Passo 2

Agora que sabemos que a série é convergente, vamos calcular a soma dela para determinarmos a razão dos números inteiros que geram essa dízima.

1,234 567 - = 1,234 + S o m a   d a   s é r i e   g e o m é t r i c a

1 , 234 567 - = 1,234 + 0,000567 1 - 0,001 = 1,234 + 0,000567 0,999 = 1,234 + 567 999000

1,234 567 - = 1,234 × 999000 + 567 999000

1,234 567 - = 1233333 999000 = 45679 37000

Resposta

A razão de números inteiros é igual a:

1,234 567 - = 45679 37000

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