Enunciado

Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função.

y = sec ⁡ x

Passo 1

Sabemos que sec ⁡ x = 1 / cos ⁡ x , então vamos substituir cos ⁡ x por sua série

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Então temos que

y = 1 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - …

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômio, fazemos a divisão somente do primeiro termo do numerador com o primeiro do denominador e em seguida com o primeiro termo após a soma com o primeiro do denominador, assim segue até o infinito já que nossa série é infinita, mas como só precisamos de três termos, vamos fazer com os três primeiros termos da série do denominador.

1                                                                                                                 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! + …

+

  - 1 + x 2 2 - x 4 2 4 + …                                                 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + …  

+

0 + x 2 2 - x 4 24 + …                                                                                                              

- x 2 2 + x 4 4 + …                                                                                                      

+

0 + 5 x 4 24 + …                                                                                              

- 5 x 4 24 + …                                                                                      

0 + …                                                                    

Lembrando que não acaba aqui, mas nós só precisamos dos três primeiros termos, então temos que

y = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + …  

Resposta

y = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + …  

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