Enunciado

Durante os meses de verão, Terry faz e vende colares na praia. No verão passado, ele vendeu os colares por $   10 cada e suas vendas eram em média de 20   por dia. Quando ele aumentou o preço $   1 , descobriu que a média diminuiu em duas vendas por dia.

(a) Encontre a função de demanda, supondo que ela seja linear.

(b) Se o material de cada colar custa a Terry $   6 , qual deveria ser o preço de venda para maximizar seu lucro?

Passo 1

E aeeee, belezinha? Bom... a questão nos diz que um cara vendia no verão passado uns colares por $   10 cada e suas vendas eram em média de 20   por dia.

Aí, quando ele aumentou o preço em $   1 , descobriu que a média diminuiu em duas vendas por dia.

Sabendo disso, a questão quer que encontremos a função de demanda, supondo que ela seja linear.

Para ser linear, a gente lembra da equação de uma reta, que é dada por:

y - y 0 = a x - x 0

A questão também quer que calculemos o preço de venda para maximizar o lucro, dado que material de cada colar custa $   6 .

Nesse caso, teremos que derivar a função encontrada e igualar a zero (pois esse é o conceito de máximo!!).

E aí?? Bora lá? 😉

Passo 2

Então... p x é a função de demanda e terá a seguinte inclinação:

a = p r e ç o   a n t e r i o r - p r e ç o   c o m   a u m e n t o v e n d a s   a n t e r i o r e s - v e n d a s   c o m   a u m e n t o ∴

a = 10 - 11 20 - 18 =

a = - 1 2

A função demanda inversa é y = p x , e passa pelos pontos 20,10 e 18,11 .

Além disso, substituindo esses dados na equação da reta mostrada no Passo 1, temos:

y - 10 = - 1 2 x - 20 ∴

y = - 1 2 x + 20 = p ( x ) .

Passo 3

Como o material de CADA colar custa $   6 , a função custo é C x = 6 x

A receita dessa função é R x = x p x = - 1 2 x 2 + 20 x

Com receita e custo, podemos encontrar o lucro: P x = R x - C x .

Maximizando, ou seja, derivando e igualando a zero:

P ' x = R ' x - C ' x = 0 ∴

P ' x = - x + 20 - 6 = 0 ∴

x = 14

P ' ' x = - 1 , isso demonstra que x = 14 realmente é a quantidade que maximiza o lucro. Com isso, podemos achar o melhor preço:

p 14 = - 14 2 + 20 = $ 13 .

Resposta

  1. p ( x ) = - 1 2 x + 20
  2. $ 13
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