Enunciado

Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um retângulo inscrito dentro de um círculo de raio r e pediu pra gente encontrar a maior área possível desse retângulo.

O que ta acontecendo é isso daqui:

Nós sabemos que a equação da circunferência é dada por:

x 2 + y 2 = r 2

E que a área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Se chamarmos a base de 2 x e a altura de 2 y , teremos:

A = 4 x y

E nós queremos que essa área seja máxima. Então, o que nós vamos fazer é isolar uma das variáveis na equação da circunferência e substituir na equação de área do retângulo. Depois, vamos encontrar os pontos de máximo dessa função, derivando e igualando a zero para obter os pontos críticos e avaliando eles dentro da função.

Vamos lá!

Passo 2

Precisamos escrever A em função da equação do círculo, então vamos isolar y na equação do círculo:

y = r 2 - x 2

Se você quiser, você pode fazer com o x , no final a resposta tem que dar igual!!

Voltando fórmula da área, vamos substituir y nela:

A = 4 x r 2 - x 2

Passo 3

Lembra que eu falei que teriamos que derivar!? A hora é agora!! Vamos achar:

A ' = d A d x = d d x ( 4 x r 2 - x 2 )

Primeiro vamos fazer a derivada da multiplicação:

A ' = 4 r 2 - x 2 + 4 x × d d x r 2 - x 2

Agora vamos usar a regra da cadeia:

d d x r 2 - x 2 = d d u u = 1 2 u 1 2

Temos também:

u = r 2 - x 2

Derivando:

d u d x = - x 2

Então podemos fazer:

d d x = 1 2 u 1 2 × - x 2

Que é: d d x = 1 2 r 2 - x 2 × - x 2

Substituindo na derivada original:

A ' = 4 r 2 - x 2 + 4 x × 1 2 r 2 - x 2 × - x 2

Resolvendo os produtos e simplificando, temos:

A ' = 4 r 2 - x 2 - - x 2 r 2 - x 2

Vamos precisar fazer um m . m . c :

A ' = 4 × r 2 - x 2 + x 2 r 2 - x 2

Por fim, chegamos em:

A ' = 4 r 2 - 3 x 2 r 2 - x 2

Passo 4

Agora para encontrarmos os pontos críticos de A , vamos igualar essa derivada a zero:

4 r 2 - 3 x 2 r 2 - x 2 = 0

O denominador não pode ser igual a zero, então sobra:

4 r 2 - 8 x 2 = 0

Isolando x :

x 2 = r 2 2

Tirando a raíz:

x = r 1 2

Racionalizando, temos:

x = r 2 2

Agora podemos encontra o y , lembra que:

y = r 2 - x 2

Vamos substituir o x :

y = r 2 - r 2 2

Resolvendo essa subtração, temos:

y = r 1 2

y = r 2 2

Passo 5

Agora que sabemos os valores de x e y , podemos calcular as dimensões do retângulo

b a s e = 2 x = 2 r 2 2

Logo,

b a s e = r 2

E

a l t u r a = 2 y = 2 r 2 2

Logo,

a l t u r a = r 2

Reparou que a base e altura são iguais, então temos um quadrado!

Dessa forma, o retângulo inscrito no circulo será o maior possível quando tiver os dois lados iguais a r 2 .

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

O retângulo inscrito no circulo que tem a maior área é um quadrado que possui lado igual a r 2

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