Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 25
Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu um retângulo inscrito dentro de um círculo de raio e pediu pra gente encontrar a maior área possível desse retângulo.
O que ta acontecendo é isso daqui:
Nós sabemos que a equação da circunferência é dada por:
E que a área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Se chamarmos a base de e a altura de , teremos:
E nós queremos que essa área seja máxima. Então, o que nós vamos fazer é isolar uma das variáveis na equação da circunferência e substituir na equação de área do retângulo. Depois, vamos encontrar os pontos de máximo dessa função, derivando e igualando a zero para obter os pontos críticos e avaliando eles dentro da função.
Vamos lá!
Passo 2
Precisamos escrever em função da equação do círculo, então vamos isolar na equação do círculo:
Se você quiser, você pode fazer com o , no final a resposta tem que dar igual!!
Voltando fórmula da área, vamos substituir nela:
Passo 3
Lembra que eu falei que teriamos que derivar!? A hora é agora!! Vamos achar:
Primeiro vamos fazer a derivada da multiplicação:
Agora vamos usar a regra da cadeia:
Temos também:
Derivando:
Então podemos fazer:
Que é:
Substituindo na derivada original:
Resolvendo os produtos e simplificando, temos:
Vamos precisar fazer um :
Por fim, chegamos em:
Passo 4
Agora para encontrarmos os pontos críticos de , vamos igualar essa derivada a zero:
O denominador não pode ser igual a zero, então sobra:
Isolando :
Tirando a raíz:
Racionalizando, temos:
Agora podemos encontra o , lembra que:
Vamos substituir o :
Resolvendo essa subtração, temos:
Passo 5
Agora que sabemos os valores de e , podemos calcular as dimensões do retângulo
Logo,
E
Logo,
Reparou que a base e altura são iguais, então temos um quadrado!
Dessa forma, o retângulo inscrito no circulo será o maior possível quando tiver os dois lados iguais a .
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
O retângulo inscrito no circulo que tem a maior área é um quadrado que possui lado igual a
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