Enunciado

Um observador permanece em um ponto P , distante uma unidade de uma pista. Dois corredores iniciam no ponto   S da figura e correm ao longo da pista. Um corredor corre três vezes mais rápido que o outro. Encontre o valor máximo do ângulo θ de visão do observador entre os corredores. [Sugestão: Maximize tg ⁡ θ .]

Passo 1

Esboçando o desenho:

Passo 2

Precisamos maximizar a tangente de θ , para isso vamos fazer a seguinte regra de três para posteriormente isolarmos tan ⁡ θ :

3 t 1 = tan ⁡ θ + φ = tan ⁡ θ + tan ⁡ φ   1 - tan ⁡ φ tan ⁡ θ = t + tan ⁡ θ 1 - t tan ⁡ θ

Então:

3 t 1 - t tan ⁡ θ = t + tan ⁡ θ

2 t = 1 + 3 t 2 tan ⁡ θ

tan ⁡ θ = 2 t 1 + 3 t 2

Passo 3

Vamos chamar tan ⁡ θ   de f ( t ) , então, maximizando f ( t ) :

f ' t = 2 1 + 3 t 2 - 2 t 6 t 1 + 3 t 2 2 = 2 + 6 t 2 - 12 t 2 1 + 3 t 2 2 = 2 1 - 3 t 2 1 + 3 t 2 2 = 0

1 - 3 t 2 = 0

3 t 2 = 1

t 2 = 1 3

t = 1 3

Substituindo na tangente de θ :

tan ⁡ θ = 2 1 3 1 + 3 1 3 2 = 1 3

O ângulo que tem tan ⁡ θ = 1 3 é o ângulo π 6 .

Resposta

O valor máximo do ângulo é π 6 .

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