Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int (4)/((1 + 2 x)^3) d x , u = 1 + 2 x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, e já nos foi dada qual substituição usar, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 + 2 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 d x = 2 d x -> 2 d x = d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (4)/((1 + 2 x)^3) d x = int (2 d u)/((u)^3) = int (2)/(u^3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (2)/(u^3) d u = 2 int (1)/(u^3) d u = 2 int u^(- 3) d u = 2 * ((u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)) = 2 * ((u^(- 2))/(- 2)) = - (1)/(u^2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 1 + 2 x :

int (4)/((1 + 2 x)^3) d x = int (2)/(u^3) d u = - (1)/(u^2) + C = - (1)/((1 + 2 x)^2) + C

Resposta

int (4)/((1 + 2 x)^3) d x = - (1)/((1 + 2 x)^2) + C

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