Enunciado

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Passo 2

Vamos começar por reescrever a nossa função c o t g ( t ) como função de senos e cossenos. Temos então:

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t = ∫ π / 4 π / 2 cos ⁡ ( t ) sen ⁡ ( t )   d t

Se fizermos u = s e n ( t ) , temos que d u = cos ⁡ ( t )   d t . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:

∫ cos ⁡ t sen ⁡ ( t )   d t   = ∫ 1 u   d u  

Logo, obtemos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Agora que obtemos uma f ( u ) facilmente integrável, podemos calcular a nossa integral. Portanto, temos:

∫ 1 u   d u   = ln ⁡ u + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável x . Temos então:

ln ⁡ u + k = ln ⁡ s e n t + k

Passo 4

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t = ln ⁡ s e n t π 4 π 2

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t = ln ⁡ s e n π 2 - ln ⁡ s e n π 4

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 2

Logo,

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t = ln ⁡ 2

Resposta

∫ π / 4 π / 2 cotg ⁡ t   d t = ln ⁡ 2

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