Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

36-

y = x 2 3 ( x - 5 )

Passo 1

Fazendo distributiva nessa função teremos:

y = x 5 3 - 5 x 2 3

Agora fazendo a primeira e a segunda derivada dessa função nós temos:

y ' = 5 3 x 2 3 - 10 3 x - 1 3  

y ' ' = 10 9   x - 1 3 + 10 9   x - 4 3

Passo 2

Para acharmos os pontos críticos da nossa função, precisamos igualar y ' a 0.

5 3 x 2 3 - 10 3 x - 1 3 = 0

5 3 x 2 3 = 10 3 x - 1 3

x = 0 serve.

Colocando variáveis para a esquerda e números a direita temos e assumirmos x diferente de 0:

x = 2

Então temos como coordenada crítica:

x = 0 ;                   x = 2

Passo 3

Agora precisamos ver se esses pontos representam máximos ou mínimos locais e também ver os pontos de inflexão e singularidade.

Para x = 2 :

y ' ' 2 = 10 9   2 - 1 3 + 10 9 2 - 4 3  

O que já consegue se ver que é positivo, então é ponto de mínimo local e concavidade para cima.

Para x = 0

y ' ' 2 = 10 9   0 - 1 3 + 10 9 0 - 4 3 = 0

Dá zero também, então não sabemos seu comportamento se a função a direita e a esquerda desse ponto tiverem a mesma concavidade então ela será uma singularidade.

Agora precisamos fazer y ' ' ser igual a zero para ver se há alguma inflexão.

10 9   x - 1 3 + 10 9   x - 4 3 = 0

Variáveis na esquerda e números a direita nos dá e assumindo x diferente de zero nos dá:

x = - 1

Logo há uma inflexão em x = - 1

Passo 4

Agora fazendo o teste das assíntotas horizontais para x= ±   ∞ :

lim x → ∞ ⁡ x 2 3 × x - 5 = ∞ × ∞ = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 × x - 5 = ∞ × - ∞ = - ∞

No segundo caso, elevamos um número ao quadrado então mudamos seu sinal

Com esse teste sabemos que a função chega em menos infinito e sai a infinito.

Passo 5

Agora precisamos arrumar nossos intervalos ,testar e organizar cada intervalo de acordo com a sua concavidade e crescimento.

O que garante a singularidade no ponto 0. Pois formasse um bico nesse ponto

Teste com os valores -2, -0.5, 1 e 3 para ver os valores de f ' e f ' '

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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