Enunciado

Elimine o módulo.

|2 x - 1| + |x - 2|

Passo 1

Temos pela definição que:

|x| = {[[x s e x >= 0],[- x s e x < 0]])

Basicamente isso fala que para todo x , |x| >= 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para 2 x - 1 temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < (1)/(2) e assume valores positivos quando x > (1)/(2) .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 2

Vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos analisar os três casos, com x <= (1)/(2) , (1)/(2) < x < 2 e x >= 2 .

Com x <= (1)/(2) temos que 2 x - 1 <= 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

|2 x - 1| + |x - 2| = - (2 x - 1) + (- (x - 2)) = - 2 x + 1 + (- x + 2) = - 2 x + 1 - x + 2 = - 3 x + 3

Passo 3

Com (1)/(2) < x < 2 temos que 2 x - 1 > 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

|2 x - 1| + |x - 2| = 2 x - 1 + (- (x - 2)) = 2 x - 1 + (- x + 2) = 2 x - 1 - x + 2 = x + 1

Passo 4

Por último, com x >= 2 temos que 2 x - 1 > 0 e x - 2 >= 0 , assim a expressão é equivalente a:

|2 x - 1| + |x - 2| = 2 x - 1 + (x - 2) = 2 x - 1 + x - 2 = 3 x - 3

Juntando então temos que:

|2 x - 1| + |x - 2| = {[[- 3 x + 3 s e x <= (1)/(2)],[x + 1 s e (1)/(2) < x < 2],[3 x - 3 s e x >= 2]])

Resposta

|2 x - 1| + |x - 2| = {[[- 3 x + 3 s e x <= (1)/(2)],[x + 1 s e (1)/(2) < x < 2],[3 x - 3 s e x >= 2]])

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