Enunciado

Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que

lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² sen ⁡ π x = 0

Ilustre, fazendo os gráficos, na mesma tela, das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto).

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite utilizando o Teorema do Confronto:

lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² sen ⁡ π x = 0

Bom... o teorema do confronto é bem interessante pra quando temos funções como seno e cosseno porque elas são limitadas. Você vai ver!

O Teorema do Confronto diz que se uma função f x está limitada por outras 2 funções, uma maior e uma menor:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

Se o limite das duas funções for igual num ponto

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então o limite de f x também vai ser igual nesse ponto

lim x → a ⁡ h x = L

Interessante ne? Assim, caso a gente não consiga calcular o limite de f x , a gente pode encontrar seu valor a partir do limite das outras duas funções!

Então nosso primeiro passo é definir essas 3 funções que se relacionam assim:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E o seno vai nos ajudar nisso!

Passo 2

Vamos lá, temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores - 1,1 , assim:

- 1 ≤ sen ⁡ π x ≤ 1

Agora vamos multiplicar tudo por x 3 + x ² , deixando a função igual a do limite:

- x 3 + x ² ≤ x 3 + x ² sen ⁡ π x ≤ x 3 + x ²

Assim temos as funções

f x = - x 3 + x ²

g x = x 3 + x ² sen ⁡ π x

h x = x 3 + x ²

Agora nós temos uma das condição do Teorema do Confronto:

f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

- x 3 + x ² ≤ x 3 + x ² sen ⁡ π x ≤ x 3 + x ²

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁡ g ( x ) = lim x → 0 ⁡ h ( x )

Passo 3

Vemos que

lim x → 0 ⁡ g ( x ) = lim x → 0 ⁡ - x 3 + x ² = 0

e que

lim x → 0 ⁡ h ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² = 0

Opa, são iguais!

Então, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que o limite da nossa f ( x ) também vai ser igual::

lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² sen ⁡ π x = 0

Passo 4

E aqui temos o plot dos gráficos:

Nossa função f x é a curva amarela. Ela está limitada pelas outras 2 em todo seu domínio. Então no ponto em qua as curvas rosa e roxa tem o mesmo limite, o limite das 3 tem que ser igual, pra que f ( x ) continue limitada.

Resposta

Demonstração

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Se 2 x = g (x) = x^4 - x^2 + 2 para todo x , encontre underset(x - 1)(lim) g ( x )
Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ ( x 2 cos ⁡ 20 π x = 0 Ilustre, fazendo os gráficos, na mesma tela, das funções f x = - x ² ², g x = x ² cos ⁡ 20 π x ² e h x = x ² ².
Use o teorema do confronto para determinar underset(x - oo)(lim) (s e n (x))/(x)
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))