Enunciado

Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma taxa contínua f = f t , onde t é o tempo medido em meses desde seu ultimo recondicionamento. Como a cada vez mais a máquina é recondicionada incorre-se em um custo fixo A , a empresa deseja determinar o tempo ótimo T (em meses), entre os recondicionamentos.

  1. Explique por que ∫ 0 t f s d s representa a perda de valor da máquina sobre o período de tempo t desde o ultimo recondicionamento.
  2. Seja C = C ( t ) dado por
  3. C t = 1 t A + ∫ 0 t f s d s

    O que C representa e porque a empresa quer minimizar C ?

  4. Mostre que C tem um valor mínimo nos números t = T onde C T = f ( T ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... pelo enunciado da questão a gente sabe o seguinte:

  • Uma máquina que se deprecia a uma taxa contínua f = f t , onde t é o tempo medido em meses desde seu ultimo recondicionamento;
  • A é o custo fixo para cada recondicionamento;
  • T é o tempo ótimo (em meses) entre os recondicionamentos.

A partir desses dados desejamos entender por que a seguinte expressão representa a perda de valor da máquina sobre o período de tempo t desde o ultimo recondicionamento:

∫ 0 t f s d s

Além disso, com a essa outra expressão:

C t = 1 t A + ∫ 0 t f s d s

Queremos entender o significado de C e por que a empresa quer minimizar essa função.

Por fim queremos demonstrar que C tem um valor mínimo nos números t = T onde C T = f ( T ) .

Muita coisa né???

Pois em cada passo abaixo eu vou te mostrar como resolve cada pergunta dessa, combinado??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

  1. Seja
  2. F t = ∫ 0 s f s d s

    Então, pelo Teorema fundamental do calculo

    F ' t = f ( t )

    Se F ' t representa a taxa de depreciação., então F ( t ) representa a perda de valor no intervalo [ 0 ,   t ] .

    Passo 3

  3. Podemos reescrever a função C da seguinte forma:
  4. C t = 1 t A + ∫ 0 t f s d s ��

    C t = 1 t A + F t ∴

    C t = A + F t t

    E isso representa a despesa média por unidade de t durante o intervalo [ 0 ,   t ] , assumindo que houve apenas uma revisão durante esse período de tempo. A empresa quer minimizar o gasto médio.

    Passo 4

  5. Para encontrarmos um mínimo, basta derivarmos a função e igualarmos a zero, usando as informações já obtidas na parte (a), podemos derivar C ( t ) da seguinte forma

C T = A + F T T ∴

d d t C T = F ' T ⋅ T - A - F T T 2 = T ⋅ f T - A - F T T 2 ∴

Igualando a zero

T ⋅ f T - A - F T T 2 = 0 ∴

T ⋅ f T - A - F T = 0 ∴

T ⋅ f T = A + F T ∴

f T = 1 T A + F T ∴

f T = 1 T A + ∫ 0 s f s d s ∴

f T = C ( T )

Resposta

  1. Então F ( t ) representa a perda de valor no intervalo [ 0 ,   t ] .
  2. Representa a despesa média por unidade de t durante o intervalo [ 0 ,   t ] , assumindo que houve apenas uma revisão durante esse período de tempo. A empresa quer minimizar o gasto médio.
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