Enunciado

Ache a derivada da função

g (x) = int_(2 x)^(3 x) ((u^2 - 1))/(u^2 + 1) d u

Passo 1

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

g (x) = int_a^x f ( u ) d u

Então

g^' (x) = f ( x ) d x

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?! Então vamos usar a dica que a questão nos dá

g (x) = int_(2 x)^(3 x) ((u^2 - 1))/(u^2 + 1) d u = int_(2 x)^0 (u^2 - 1)/(u^2 + 1) d u + int_0^(3 x) (u^2 - 1)/(u^2 + 1) d u

Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de 0 até o limite superior

g (x) = - int_0^(2 x) (u^2 - 1)/(u^2 + 1) d u + int_0^(3 x) (u^2 - 1)/(u^2 + 1) d u

Passo 2

Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo e já usamos a dica dada, vamos dizer o seguinte, seja

w = 2 x e z = 3 x

Então, temos que

(d w)/(d x) = 2 e (d z)/(d x) = 3

Então, se substituirmos na função g , ficamos com

g (x) = - int_0^w (u^2 - 1)/(u^2 + 1) d u + int_0^z (u^2 - 1)/(u^2 + 1) d u

Passo 3

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são x , mas sim w e z , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos g ' ( x ) .

g^' (x) = - ((w^2 - 1)/(w^2 + 1)) (d w)/(d x) + ((z^2 - 1)/(z^2 + 1)) (d z)/(d x)

Agora, substituindo o que sabemos, podemos encontrar g ' ( x )

g^' (x) = - (((2 x)^2 - 1)/((2 x)^2 + 1)) 2 + (((3 x)^2 - 1)/((3 x)^2 + 1)) 3 = (- 8 x^2 + 2)/(4 x^2 + 1) + (27 x^2 - 3)/(9 x^2 + 1)

Resposta

g^' (x) = (- 8 x^2 + 2)/(4 x^2 + 1) + (27 x^2 - 3)/(9 x^2 + 1)

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