Enunciado

Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:

l) x + y + z = 1 ,   z = x - 2 y

Passo 1

Então pessoal, antes de tudo, o que seria determinar uma equação vetorial de uma curva? Seria escrevermos uma função vetorial que possui componentes em x , y e z ou, como geralmente acontece, apenas em x e y . No entanto, essas variáveis têm que estar escritas em termos de uma variável só, que é t , e é isso que vamos buscar fazer no exercício, tudo jóia? Então vamo pra cima!

Passo 2

As curvas que nos foram dadas foram:

x + y + z = 1

z = x - 2 y

Se chamarmos x = t , teremos que as equações se tornarão:

z = 1 - y - t

z = t - 2 y

Igualando os dois z que encontramos, teremos:

1 - y - t = t - 2 y

2 y - y = t + t - 1

∴ y = 2 t - 1

Logo, z será:

z = t - 2 . ( 2 t - 1 )

z = t - 4 t + 2

∴ z = 2 - 3 t

Passo 3

E aí está, escrevemos todas as variáveis em função de t ! Para facilitar a visualização:

x = t y = 2 t - 1 z = 2 - 3 t

Por fim, em termos de vetores unitários nossa equação vetorial será:

r → t = t i → + 2 t - 1 j → + 2 - 3 t k →

E está aí nossa equação vetorial associada à curva que nos foi dada, galera!

Resposta

r → t = t i → + 2 t - 1 j → + 2 - 3 t k →

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