Enunciado

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

d) h x = 1 4 x 4 - 5 3 x 3 + 4 x 2 - 4 x + 8

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

h ' x = x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Igualando a zero:

x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = 0

Daqui tiramos que os pontos críticos da função, isto é, os valores de x que solucionam a equação acima, são: x = 1 e x = 2 .

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

h ' ' x = 3 x 2 - 10 x + 8

h ' ' 1 = 3.1 2 - 10.1 + 8 = 1 > 0

h ' ' 2 = 3.2 2 - 10.2 + 8 = 0  

Portanto, podemos concluir que x = 1 é um ponto de mínimo. No entanto, não conseguimos se x = 2 é um ponto de mínimo ou de máximo, dessa forma, vamos utilizar a derivada primeira para tentar tirar alguma conclusão, tudo bem? Assim como vimos, nossa derivada primeira nos dá:

h ' x = x - 1 x - 2 2

Para x > 1 temos que h ' x > 0 , então é crescente neste intervalo. Po, tem algo estranho! Se para x > 1 a função é crescente, então é impossível que x = 2 seja um ponto de máximo ou mínimo relativo, não é mesmo? Sim, exatamente! Dessa forma, podemos escrever que:

Pontos de máximo: Não existem:

Pontos de mínimo: x = 1 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, por mais que seja difícil ver no gráfico, x = 1 é, de fato, um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: Não existem:

Pontos de mínimo: x = 1 .

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