Enunciado

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Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão :

4,03 2 + 2,9 2

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão precisamos achar a equação do plano tangente em um determinado ponto, de modo que esse plano seja tangente a uma função que se assemelha a nossa expressão acima

f x , y = x 2 + y 2

Seja

F x , y , z =   x 2 + y 2 - z

Cálculo do vetor gradiente

∂ F ∂ x = x x 2 + y 2

∂ F ∂ y = y x 2 + y 2

∂ F ∂ y = - 1

∇ F x , y , z = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , - 1

No ponto em que x = 4 e y = 3, temos que z = 5 . Esses pontos são escolhidos de modo a me possibilitar calcular os valores das expressões acima

∇ F 4 , 3 , 5 = 4 5 , 3 5 , - 1

A equação do plano tangente nesse ponto será:

x - 4 , y - 3 , z - 5 ∙ 4 5 , 3 5 , - 1 = 4 x 5 + 3 y 5 - z = 0    

Passo 2

Agora que temos a equação do plano tangente lembramos que ele tem aproximadamente os mesmos valores que nossa função tem para valores próximos do ponto de tangencia

Substituindo x = 4,03 e y = 2,9 na nossa equação do plano temos

4 ( 4,03 ) 5 + 3 ( 2,9 ) 5 - z = 0             ⟹ z = 4,964

Resposta

4,964

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