Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 4.5 - Ex. 76a

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desse livro

Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão :

1,01 e 0,015 7

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão precisamos achar a equação do plano tangente em um determinado ponto, de modo que esse plano seja tangente a uma função que se assemelha a nossa expressão acima

f x , y = x 7 e 7 y

Seja

F x , y , z =   x 7 e 7 y - z

Cálculo do vetor gradiente

∂ F ∂ x = 7 x 6 e 7 y

∂ F ∂ y =   7 x 7 e 7 y

∂ F ∂ y = - 1

∇ F x , y , z = ( 7 x 6 e 7 y , 7 x 7 e 7 y , - 1 )

No ponto em que x = 1 e y = 0, temos que z = 1. Esses pontos são escolhidos de modo a me possibilitar calcular os valores das expressões acima

∇ F 1 , 0 , 1 = ( 7 , 7 , - 1 )

A equação do plano tangente nesse ponto será:

x - 1 , y , z - 1 ∙ 7 , 7 , - 1 = 7 x - 1 + 7 y - z - 1 = 0    

Passo 2

Agora que temos a equação do plano tangente lembramos que ele tem aproximadamente os mesmos valores que nossa função tem para valores próximos do ponto de tangencia

Substituindo x = 1,01 e y = 0,015 na nossa equação do plano temos

7 1,01 - 1 + 7 0,015 - z - 1 = 0   ⟹ z = 1,175

Resposta

1,175

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