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Encontre d y / d x e d ² y / d x ² . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = e t

y = t e - t  

Passo 1

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia e evoluída. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. ( o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x * d t d t   → d y d t * d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Vou ajustar um pouquinho pra deixar uma coisa evidente

d d x y = d d t y d x d t

Se queremos a primeira derivada de y, então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando : ). Vamos calcular primeiro a primeira derivada.

Passo 2

x = e t

y = t e - t  

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t e - t   d d t e t

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

= e - t - t e - t   e t

Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito mas pratico para derivar mais uma vez.

= e - 2 t - t e - 2 t

Agora sim, está bem mais fácil manipular.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

= d d t e - 2 t - t e - 2 t d d t e t

=   - 2 e - 2 t - e - 2 t - 2 t e - 2 t e t  

=   - 3 e - 3 t + 2 t e - 3 t

= e - 3 t   - 3 + 2 t

Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva

d y 2 d x 2 > 0

Logo

e - 3 t   - 3 + 2 t > 0

Como a função exponencial é sempre positiva precisamos nos preocupar apenas com a parte

- 3 + 2 t > 0

Vamos solucionar isso :

= t > 2 3

Belezinha. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução. : )

Resposta

t > 2 3

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