Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte do parabolóide hiperbólico z = y^2 - x^2 que fica entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 .

Com as condições fornecidas no enunciado, a região de interesse será:

1 <= x^2 + y^2 <= 4

Ou seja, é uma círculo com raio maior que 1 e menor que 4.

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = y^2 - x^2 -> f_x = 2 x , f_y = 2 y

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt(( - 2 x )^2 + (2 y)^2 + 1) d A = ∬ sqrt(4 x^2 + 4 y^2 + 1) d A

Já que a superfície sob a qual estamos integrando é um círculo, iremos mudar de coordenadas cartesianas para polares, sendo assim, temos:

int_0^(2 pi) int_1^2 sqrt(4 r^2 + 1) r d r d theta = int_0^(2 pi) d theta int_1^2 r sqrt(4 r^2 + 1) d r

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:

[theta]_0^(2 pi) [(1)/(12) (4 r^2 + 1)^(3 // 2)]_1^2 = (pi)/(6) ( 17 sqrt(17) - 5 sqrt(5) )

E, simplificando, temos:

A (S) = (pi)/(6) ( 17 sqrt(17) - 5 sqrt(5) )

Resposta

A (S) = (pi)/(6) ( 17 sqrt(17) - 5 sqrt(5) )

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