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Encontre f ' ( a ) .

f t = 2 t + 1 t + 3

Passo 1

Para resolver essa questão, temos que partir da definição de derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Começamos escrevendo quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) , olha só:

f t = 2 t + 1 t + 3

Fazendo t = a :

f a = 2 a + 1 a + 3

Agora, fazendo t = a + h :

f a + h = 2 ( a + h ) + 1 ( a + h ) + 3

Agora podemos substituir essas expressões no nosso limite! Saca só:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 2 ( a + h ) + 1 ( a + h ) + 3 - 2 a + 1 a + 3 h

Passo 2

Nosso próximo passo é dar uma arrumadinha nesse nosso limite! Bora lá:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 2 a + 2 h + 1 a + h + 3 - 2 a + 1 a + 3   . 1 h

Assim fica um pouco melhor de trabalhar – lembrando que dividir por h é o mesmo que multiplicar por 1 h , ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também.

Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( 2 a + 2 h + 1 ) . a + 3 - 2 a + 1 .   ( a + h + 3 ) ( a + h + 3 )   .   ( a + 3 )   . 1 h

Agora, vamos fazer as multiplicações, mas só no numerador primeiro! Bora lá, vamos desenvolver a parte 2 a + 2 h + 1 .   ( a + 3 ) e a parte 2 a + 1 .   ( a + h + 3 ) :

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( 2 a 2 + 2 a h + a + 6 a + 6 h + 3 ) - ( 2 a 2 + 2 a h + 6 a + a + h + 3 ) ( a + h + 3 )   .   ( a + 3 )   . 1 h

Fazendo o jogo de sinal com a segunda parte do numerador:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 2 a 2 + 2 a h + a + 6 a + 6 h + 3 - 2 a 2 - 2 a h - 6 a - a - h - 3 ( a + h + 3 )   .   ( a + 3 )   . 1 h

Ainda dando uma olhadinha no numerador, podemos cancelar 2 a 2 com - 2 a 2 , 2 a h com - 2 a h , a com - a , 6 a com - 6 a e 3 com - 3 , ficando desse jeito:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 6 h - h ( a + h + 3 )   .   ( a + 3 )   . 1 h

f ' a = lim h → 0 ⁡ 5 h ( a + h + 3 )   .   ( a + 3 )   . 1 h

Pronto, demos uma arrumadinha já na nossa expressão! Vamos deixar ela assim que no passo 3 você já entende o porquê ;)

Passo 3

Bom, pegando a expressão como deixamos, se substituirmos h = 0 para tentar resolver o limite, encontraremos a indeterminação 0 0 . A gente pode resolver isso se cancelarmos o h do numerador com o h do denominador! Vai ficar desse jeitinho aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 5 ( a + h + 3 )   .   ( a + 3 )

Olha aí, eliminamos a indeterminação! Falei para você não mexer no denominador no passo anterior porque não tem necessidade mesmo, assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho. Então, sempre que puder deixar os termos multiplicando igual desse jeito que tá no denominador, deixe! A não ser que não tenha outra saída, ta bom?

Vamos agora fazer a substituição h = 0 para resolver o limite. Saca só:

f ' a = 5 a + 0 + 3 .   a + 3

f ' a = 5 ( a + 3 )   .   ( a + 3 )

f ' a = 5 a + 3 2

Pronto! Essa aqui já é a nossa expressão para f ' ( a ) , uhul!

Resposta

Teremos que f ' a = 5 a + 3 2 .

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