Enunciado

Encontre f ' ( a ) :

f (t) = (2 t + 1)/(t + 3)

Passo 1

Para resolver essa questão, temos que partir da definição de derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

Começamos escrevendo quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) , olha só:

f (t) = (2 t + 1)/(t + 3)

Fazendo t = a :

f (a) = (2 a + 1)/(a + 3)

Agora, fazendo t = a + h :

f (a + h) = (2 ( a + h ) + 1)/(( a + h ) + 3)

Agora podemos substituir essas expressões no nosso limite! Saca só:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((2 ( a + h ) + 1)/(( a + h ) + 3) - (2 a + 1)/(a + 3))/(h)

Passo 2

Nosso próximo passo é dar uma arrumadinha nesse nosso limite! Bora lá:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((2 a + 2 h + 1)/(a + h + 3) - (2 a + 1)/(a + 3)) . (1)/(h)

Assim fica um pouco melhor de trabalhar – lembrando que dividir por h é o mesmo que multiplicar por (1)/(h) , ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também.

Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((( 2 a + 2 h + 1 ) . (a + 3) - (2 a + 1) . ( a + h + 3 ))/(( a + h + 3 ) . ( a + 3 ))) . (1)/(h)

Agora, vamos fazer as multiplicações, mas só no numerador primeiro! Bora lá, vamos desenvolver a parte (2 a + 2 h + 1) . ( a + 3 ) e a parte (2 a + 1) . ( a + h + 3 ) :

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((( 2 a^2 + 2 a h + a + 6 a + 6 h + 3 ) - ( 2 a^2 + 2 a h + 6 a + a + h + 3 ))/(( a + h + 3 ) . ( a + 3 ))) . (1)/(h)

Fazendo o jogo de sinal com a segunda parte do numerador:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((2 a^2 + 2 a h + a + 6 a + 6 h + 3 - 2 a^2 - 2 a h - 6 a - a - h - 3)/(( a + h + 3 ) . ( a + 3 ))) . (1)/(h)

Ainda dando uma olhadinha no numerador, podemos cancelar 2 a^2 com - 2 a^2 , 2 a h com - 2 a h , a com - a , 6 a com - 6 a e 3 com - 3 , ficando desse jeito:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((6 h - h)/(( a + h + 3 ) . ( a + 3 ))) . (1)/(h)

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((5 h)/(( a + h + 3 ) . ( a + 3 ))) . (1)/(h)

Pronto, demos uma arrumadinha já na nossa expressão! Vamos deixar ela assim que no passo 3 você já entende o porquê ;)

Passo 3

Bom, pegando a expressão como deixamos, se substituirmos h = 0 para tentar resolver o limite, encontraremos a indeterminação (0)/(0) . A gente pode resolver isso se cancelarmos o h do numerador com o h do denominador! Vai ficar desse jeitinho aqui:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (5)/(( a + h + 3 ) . ( a + 3 ))

Olha aí, eliminamos a indeterminação! Falei para você não mexer no denominador no passo anterior porque não tem necessidade mesmo, assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho. Então, sempre que puder deixar os termos multiplicando igual desse jeito que tá no denominador, deixe! A não ser que não tenha outra saída, ta bom?

Vamos agora fazer a substituição h = 0 para resolver o limite. Saca só:

f^' (a) = (5)/((a + 0 + 3) . (a + 3))

f^' (a) = (5)/(( a + 3 ) . ( a + 3 ))

f^' (a) = (5)/((a + 3)^2)

Pronto! Essa aqui já é a nossa expressão para f ' ( a ) , uhul!

Resposta

Teremos que f^' (a) = (5)/((a + 3)^2) .

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