Enunciado

O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é

C x = 5000 +   10 x + 0,05 x 2

a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem variando :

( i ) de x = 100 a x = 105 ( i i ) de x = 100 a x = 101

b) Encontre a taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x = 100 . (Isso é chamado custo marginal. Seu significado será explicado na Seção 3.7 .)

Passo 1

E aí, preparado para mais uma questão sobre taxas de variação?

Nesse problema foi dada uma função C x que representa o custo de produção de uma certa quantidade x de um objeto.

C x = 5000 +   10 x + 0,05 x 2

A partir daí queremos obter a taxa média de variação de C de x = 100 até x = 105 e tambem de x = 100 para x = 101 .

E tambem queremos obter a taxa de variação instantânea em x = 100 .

Tem ideia de como fazemos isso? 😉

Para obter obter a variação nos intervalos podemos usar a equação

m = ∆ C ∆ x = C 2 - C 1 x 2 - x 1

Já para obter a taxa de variação instantânea, fazemos

C ' a = lim h → 0 ⁡ C a + h - C a h

Veja só! 👀

Passo 2

Essa aqui é bem legal, bora lá!

Para encontrar a taxa média, usamos a fórmula:

m = ∆ C ∆ x = C 2 - C 1 x 2 - x 1

Onde m vai ser o valor dessa taxa. Precisamos de dois pontos para usar a fórmula: o ponto ( x 1 ,   C 1 ) e o ponto ( x 2 ,   C 2 ). Esses pontos a gente vai tirar de cada item que formos resolver, tranquilo?

i Para encontrar C 1 tendo que x 1 = 100 , só precisamos jogar esse valor de x na função custo que deram para a gente:

C 1 = 5000 + 10   .   100 + 0,05   .   100 2 = 6500   d ó l a r e s

Agora, encontrando C 2 com x 2 = 105 :

C 2 = 5000 + 10   .   105 + 0,05   .   105 2 = 6601,25   d ó l a r e s

Beleza, já sabemos quem são nossos dois pontos! Agora basta jogarmos na fórmula da taxa média, dá uma olhada em como vai ficar:

m = 6601,25 - 6500 105 - 100 = 101,25 5 = 20,25   d ó l a r e s / u n i d a d e

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

( i i ) Nesse item, fazemos de forma parecida ao item ( i ) . Calculamos primeiro C 1 , considerando agora x = 100 – já sabemos esse valor dos cálculos anteriores, certo? É C 1 = 6500   d ó l a r e s .

Agora devemos encontrar C 2 considerando x = 101 , saca só:

C 2 = 5000 + 10   .   101 + 0,05   .   101 2 = 6520,05   d ó l a r e s

E já temos os novos dois pontos! Utilizando a fórmula da taxa média:

m = 6520,05 - 6500 101 - 100 = 20,05 1 = 20,05   d ó l a r e s / u n i d a d e

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora, temos que encontrar a taxa de variação instantânea quando x = 100 . Toda vez que falamos em taxa instantânea, a gente ta falando de derivada! Lembra disso que cai que só em prova de cálculo.

O papo dessa questão é encontrar a derivada no ponto x = 100 . A fórmula para a derivada em um ponto qualquer da nossa função custo vai ser essa aqui:

C ' a = lim h → 0 ⁡ C a + h - C a h

Se fizermos a = 100 , vamos ter isso aqui:

C ' 100 = lim h → 0 ⁡ C 100 + h - C 100 h

Sabemos já que C 100 = 6500   d ó l a r e s lá do passo 1 . Substituindo vamos ter:

C ' 100 = lim h → 0 ⁡ C 100 + h - 6500 h

Beleza, nossa expressão ta ganhando mais forma! Agora, temos que encontrar quem é C ( 100 + h ) . Para isso, fazemos x = 100 + h na expressão do curso, dá uma olhadinha em como é:

C 100 + h = 5000 +   10   .   100 + h + 0,05 .   ( 100 + h ) 2

Vamos desenvolver esse produto notável quadrado da soma que temos aí, saca só:

C 100 + h = 5000 +   10   .   100 + h + 0,05 .   ( 10000 + 200 h + h 2 )

Realizando as multiplicações:

C 100 + h = 5000 +   1000 + 10 h + 500 + 10 h + 0,05 h 2

C 100 + h = 6500 + 20 h + 0,05 h 2

Pronto! Substituindo na expressão de C ' 100 :

C ' 100 = lim h → 0 ⁡ 6500 + 20 h + 0,05 h 2 - 6500 h

C ' 100 = lim h → 0 ⁡ 20 h + 0,05 h 2 h

Bora lá! 😊

Passo 5

Agora, só precismos resolver o limite que restou e teremos a nossa taxa de variação instantânea!

Se fizermos a substituição h = 0 no limite, cairemos em uma indeterminação 0 0 . Devemos deixar o h em evidência no numerador para cancelarmos ele com o do denominador, tranquilo? Olha como faz:

C ' 100 = lim h → 0 ⁡ 20 + 0,05 h .   h h

C ' 100 = lim h → 0 ⁡ 20 + 0,05 h .   h h

C ' 100 = l i m h → 0 20 + 0,05 h

Prontinho, a indeterminação já era! Fazendo agora a substituição h = 0 , teremos:

C ' 100 = 20 + 0,05 . h

C ' 100 = 20   d ó l a r e s / u n i d a d e

Conseguimos, uhul! Achamos a nossa taxa de variação instantânea e essa questão aqui já era ;)

O que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

  1. i   m = 20,25   d ó l a r e s / u n i d a d e i i   m = 20,05   d ó l a r e s / u n i d a d e
  2. A taxa de variação instantânea para o ponto x = 100   é   20   d ó l a r e s / u n i d a d e
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Construa uma função f : R → R que seja contínua em R e que seja derivável em todos os pontos, exceto nos números inteiros.
Seja g x = x 2 + 2 ,s e x1 2 x + 1 ,s e x ≥ 1 a ) Mostre que g é derivável em p = 1 e calcule g ' 1 . b ) Esboce o gráfico de g .
Mostre que a função g x = 2 x + 1 ,s e x1 - x + 4 ,s e x ≥ 1 Não é derivável em p = 1 . Esboce o gráfico de g .
16- Seja f x = 2s ex ≥ 0x 2 + 2s ex0 a)Esboce o gráfico de f .b) f é derivável em p = 0? Em caso afirmativo, calcule f ´ 0 .
Calcule f ' x . f x = 3 x 2 + 5