Enunciado

Encontre f ' ( x ) : f x = c o t g x 1 + c o s s e c x

Passo 1

Bom, bora lá.

Podemos ver que temos uma divisão na nossa função, para resolver essa derivada, vamos ter que usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

d d x f x g ( x ) = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Nesse caso, nossa f x = c o t g x   e g x = 1 + c o s s e c x .

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos relembrar as derivadas:

d d x c o t g x = - c o s s e c 2 ( x )

d d x c o s s e c x = - c o t g x ∙ c o s s e c x

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Passo 2

Agora sim, vamos aplicar nossa regra do quociente :

c o t g x ' ∙ 1 + c o s s e c x - c o t g x ∙ 1 + c o s s e c x ' 1 + c o s s e c x 2

Resolvendo essas derivadas:

( - c o s s e c 2 ( x ) ) ∙ 1 + c o s s e c x - c o t g x ∙ ( - c o t g x ∙ c o s s e c x ) 1 + c o s s e c x 2

- c o s s e c 2 x ∙ 1 + c o s s e c x + c o t g x 2 ∙ c o s s e c x ) 1 + c o s s e c x 2

Passo 3

Para simplificar, vamos ver em termos de sen ⁡ x e c o s ⁡ ( x ) , que estamos mais acostumados, lembrando que :

cot ⁡ g x = cos ⁡ x s e n x

c o s s e c x = 1 sen ⁡ x

Substiuindo:

- 1 sen ⁡ x 2 ∙ 1 + 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x s e n x 2 ∙ 1 sen ⁡ x 1 + 1 sen ⁡ x 2

Colocando o - 1 sen ⁡ x em evidência:

- 1 sen ⁡ x ∙ 1 + 1 sen ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ x - cos ⁡ x s e n x 2 1 + 1 sen ⁡ x 2

- 1 sen ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ x + 1 sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ ( x ) 1 + 1 sen ⁡ x 2

- 1 sen ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ x + 1 - cos 2 ⁡ ( x ) sen 2 ⁡ x 1 + 1 sen ⁡ x 2

- 1 sen ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ x + 1 1 + 1 sen ⁡ x 2

Lembrando que :

1 + 1 sen ⁡ x 2 = 1 sen ⁡ x + 1 ∙ 1 sen ⁡ x + 1

Fazemos:

- 1 sen ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ x + 1 1 sen ⁡ x + 1 ∙ 1 sen ⁡ x + 1 = - 1 sen ⁡ x 1 sen ⁡ x + 1

Volltando em termos de cossecante:

f ' x = - c o s s e c x 1 + c o s s e c x

Resposta

f ' x = - c o s s e c x 1 + c o s s e c x

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