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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 2.7 - Ex. 29

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Encontre f ' ( a ) .

f x = 1 x + 2

Passo 1

Primeiro, temos que partir da definição de derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Começamos escrevendo quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) para jogarmos na nossa fórmula, beleza? Saca só:

f x = 1 x + 2

Fazendo x = a :

f a = 1 a + 2

Agora, fazendo x = a + h :

f a + h = 1 ( a + h ) + 2

Agora esse dois caras podem ser substituídos no nosso limite, entendeu? Vai ficar assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 1 ( a + h ) + 2 - 1 a + 2 h

Passo 2

Nosso próximo passo é tentar escrever nosso limite de uma forma mais amigável, que a gente consiga olhar e resolver ele mais fácil, beleza? Bora lá:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 1 a + h + 2 - 1 a + 2   . 1 h

Dividir por h é o mesmo que multiplicar por 1 h , aí fiz essa pequena alteração para a expressão ficar mais bonita, ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também, no denominador, eliminando os parênteses de dentro da raíz.

Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a + 2 - a + h + 2 a + h + 2 .   ( a + 2 )   . 1 h

Para fazer aparecer números fora da raíz no numerador, temos que multiplicar pelo conjugado dele, que é a + 2 + a + h + 2 . A multiplicação tem que ser tanto em cima quanto em baixo, beleza? É isso aqui que vamos fazer:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a + 2 - a + h + 2 a + h + 2 .   ( a + 2 ) .   a + 2 + a + h + 2 a + 2 + a + h + 2   . 1 h

Pode parecer um pouco assustador, mas relaxa! A gente forçou o aparecimento no numerador do produto da soma pela diferença, que é um produto notável. Seu resultado é o quadrado do primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo. Olha só o que vamos ter agora:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a + 2 2 - a + h + 2 2 a + h + 2 .   a + 2 . a + 2 + a + h + 2   . 1 h

Cancelando essa potência com a raiz, vai dar isso aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a + 2 - ( a + h + 2 ) a + h + 2 .   a + 2 . a + 2 + a + h + 2   . 1 h

Fazendo as continhas no numerador, vamos ter:

f ' a = lim h → 0 ⁡ - h a + h + 2 .   a + 2 . a + 2 + a + h + 2   . 1 h

Pronto! Já arrumamos a nossa expressão! Pode parecer que ficou estranhão esse denominador, mas relaxa e olha o próximo passo que vais ver que ta tudo certo! ;)

Passo 3

Se substituirmos h = 0 para tentar resolver o limite na expressão que temos, encontraremos a indeterminação 0 0 . A gente pode resolver isso se cancelarmos o h   do numerador com o h do denominador:

f ' a = lim h → 0 ⁡ - 1 a + h + 2 .   a + 2 . a + 2 + a + h + 2

Olha aí, eliminamos a indeterminação! Não mexemos no denominador no passo anterior porque assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho, sem precisar mexer nesse bando de raíz. o tempo você vê que nesse estilo de questão é melhor não mexer no denominador, só no numerador para resolver mais rápido, beleza?

Vamos agora fazer a substituição h = 0 para resolver o limite! Saca só:

f ' a = - 1 a + 0 + 2 .   a + 2 . a + 2 + a + 0 + 2

f ' a = - 1 a + 2 .   a + 2 . a + 2 + a + 2

f ' a = - 1 a + 2 2 . 2 a + 2

f ' a = - 1 2 a + 2 3 / 2

Pronto! Essa aqui já era!

Resposta

Teremos que f ' a = - 1 2 a + 2 3 / 2 .

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