Enunciado

Encontre f ' ( a ) :

f (x) = (1)/(sqrt(x + 2))

Passo 1

Primeiro, temos que partir da definição de derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

Começamos escrevendo quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) para jogarmos na nossa fórmula, beleza? Saca só:

f (x) = (1)/(sqrt(x + 2))

Fazendo x = a :

f (a) = (1)/(sqrt(a + 2))

Agora, fazendo x = a + h :

f (a + h) = (1)/(sqrt(( a + h ) + 2))

Agora esse dois caras podem ser substituídos no nosso limite, entendeu? Vai ficar assim:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(sqrt(( a + h ) + 2)) - (1)/(sqrt(a + 2)))/(h)

Passo 2

Nosso próximo passo é tentar escrever nosso limite de uma forma mais amigável, que a gente consiga olhar e resolver ele mais fácil, beleza? Bora lá:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(sqrt(a + h + 2)) - (1)/(sqrt(a + 2))) . (1)/(h)

Dividir por h é o mesmo que multiplicar por (1)/(h) , aí fiz essa pequena alteração para a expressão ficar mais bonita, ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também, no denominador, eliminando os parênteses de dentro da raíz.

Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((sqrt(a + 2) - sqrt(a + h + 2))/((sqrt(a + h + 2)) . ( sqrt(a + 2) ))) . (1)/(h)

Para fazer aparecer números fora da raíz no numerador, temos que multiplicar pelo conjugado dele, que é sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2) . A multiplicação tem que ser tanto em cima quanto em baixo, beleza? É isso aqui que vamos fazer:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((sqrt(a + 2) - sqrt(a + h + 2))/((sqrt(a + h + 2)) . ( sqrt(a + 2) ))) . ((sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2))/(sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2))) . (1)/(h)

Olha só o que vamos ter agora:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (((sqrt(a + 2))^2 - (sqrt(a + h + 2))^2)/((sqrt(a + h + 2)) . (sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2)))) . (1)/(h)

Cancelando essa potência com a raiz, vai dar isso aqui:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((a + 2 - ( a + h + 2 ))/((sqrt(a + h + 2)) . (sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2)))) . (1)/(h)

Fazendo as continhas no numerador, vamos ter:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) ((- h)/((sqrt(a + h + 2)) . (sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2)))) . (1)/(h)

Pronto! Já arrumamos a nossa expressão! Pode parecer que ficou estranhão esse denominador, mas relaxa e olha o próximo passo que vais ver que ta tudo certo! ;)

Passo 3

Se substituirmos h = 0 para tentar resolver o limite na expressão que temos, encontraremos a indeterminação (0)/(0) . A gente pode resolver isso se cancelarmos o h do numerador com o h do denominador:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (- 1)/((sqrt(a + h + 2)) . (sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2) + sqrt(a + h + 2)))

Olha aí, eliminamos a indeterminação! Não mexemos no denominador no passo anterior porque assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho, sem precisar mexer nesse bando de raíz. o tempo você vê que nesse estilo de questão é melhor não mexer no denominador, só no numerador para resolver mais rápido, beleza?

Vamos agora fazer a substituição h = 0 para resolver o limite! Saca só:

f^' (a) = (- 1)/((sqrt(a + 0 + 2)) . (sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2) + sqrt(a + 0 + 2)))

f^' (a) = (- 1)/((sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2)) . (sqrt(a + 2) + sqrt(a + 2)))

f^' (a) = (- 1)/((sqrt(a + 2))^2 . (2 sqrt(a + 2)))

f^' (a) = (- 1)/(2 (sqrt(a + 2))^(3 // 2))

Pronto! Essa aqui já era!

Resposta

Teremos que f^' (a) = (- 1)/(2 (sqrt(a + 2))^(3 // 2)) .

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