Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 29
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Passo 1
Primeiro, temos que partir da definição de derivada em um ponto qualquer, que é essa aqui:
Começamos escrevendo quem é e quem é para jogarmos na nossa fórmula, beleza? Saca só:
Fazendo :
Agora, fazendo :
Agora esse dois caras podem ser substituídos no nosso limite, entendeu? Vai ficar assim:
Passo 2
Nosso próximo passo é tentar escrever nosso limite de uma forma mais amigável, que a gente consiga olhar e resolver ele mais fácil, beleza? Bora lá:
Dividir por é o mesmo que multiplicar por , aí fiz essa pequena alteração para a expressão ficar mais bonita, ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também, no denominador, eliminando os parênteses de dentro da raíz.
Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:
Para fazer aparecer números fora da raíz no numerador, temos que multiplicar pelo conjugado dele, que é . A multiplicação tem que ser tanto em cima quanto em baixo, beleza? É isso aqui que vamos fazer:
Olha só o que vamos ter agora:
Cancelando essa potência com a raiz, vai dar isso aqui:
Fazendo as continhas no numerador, vamos ter:
Pronto! Já arrumamos a nossa expressão! Pode parecer que ficou estranhão esse denominador, mas relaxa e olha o próximo passo que vais ver que ta tudo certo! ;)
Passo 3
Se substituirmos para tentar resolver o limite na expressão que temos, encontraremos a indeterminação . A gente pode resolver isso se cancelarmos o do numerador com o do denominador:
Olha aí, eliminamos a indeterminação! Não mexemos no denominador no passo anterior porque assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho, sem precisar mexer nesse bando de raíz. o tempo você vê que nesse estilo de questão é melhor não mexer no denominador, só no numerador para resolver mais rápido, beleza?
Vamos agora fazer a substituição para resolver o limite! Saca só:
Pronto! Essa aqui já era!
Resposta
Teremos que .
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