Definição de Derivadas

Teoria Completa

Faaala galera, lembra daquele limite que vimos no capítulo introdutório como uma definição da derivada? Esse limite aqui embaixo:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Como eu acabei de falar (e o título do capítulo já diz, né?), essa é a definição da derivada!

Ou seja, se queremos saber a derivada de uma funçãozinha f x nós podemos calcular por esse limite aí em cima.

Hehe, relaxaaa, antes de começarmos a calcular, vamos dar uma desmembrada nesse nosso querido limite. Bom, a derivada é interpretada como uma taxa de variação.

Vamos pensar juntos, como calculamos a variação de alguma coisa?

Nós pegamos o valor depois da variação e subtraímos o valor antes da variação.

É a mesma coisa, só que nesse caso estamos falando de uma função, estamos calculando nada mais que a variação dela:

∆ f u n ç ã o =   f x + Δ x - f x

Só que estamos calculando essa variação do valor da função com relação ao valor que variamos em x, ou seja:

f x + Δ x - f x Δ x

Podemos ver graficamente assim:

Mas queremos que esse intervalo em x, seja muuuuito pequeno, então fazemos um limite jogando ele perto de 0:

lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Por exemplo, no caso da velocidade calculamos a variação com relação a um intervalo de tempo, ou seja, nosso ∆ x = t e m p o , e por fazer tender a zero, estamos calculando uma velocidade instantânea .

Agora que você já viu de onde veio esse limite enorme, vamos calcular umas derivadas hehe.

OBS.: Pela dificuldade para calcular, é difícil que por agora seja pedido que você calcule a definição da derivada para funções como f x = sen ⁡ x , f x = ln ⁡ x , f x = e x e outras funções não polinomiais.

Exemplos

Primeiro, vamos calcular a derivada de f x = x , vamos usar o limite:

lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Precisamos calcular f   x + Δ x e f ( x )

e

Substituindo no limite:

lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x - x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ Δ x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 1 = 1

Prontinho, temos que a derivada f ' x = 1

Ex: Calcule a derivada de f x = 2 x + 3

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x → 0 ⁡ 2 x + Δ x + 3 - 2 x + 3 Δ x

= lim Δ x → 0 ⁡ 2 x + 2 Δ x + 3 - 2 x - 3 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 2 Δ x Δ x

Cortamos o Δ x :

lim Δ x → 0 ⁡ 2 Δ x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 2 = 2

Ou seja, f ' x = 2 para f x = 2 x + 3 ! É um resultado que faz bastante sentido, já que 2 x + 3 é uma reta, que é um comportamento que mantém sempre a mesma taxa de variação para todo x , a qual é representada pela derivada.

Ex: Calcule a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x 3 + 4 x + Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

= lim Δ x → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

Vamos cortar todos os termos que se repetem:

= lim Δ x → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 - 4 x + 2 Δ x

= lim Δ x → 0 ⁡ 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 Δ x Δ x

Dividimos pelo Δ x :

lim Δ x → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x Δ x + Δ x 2 + 4

= 3 x 2 + 3 x 0 + 0 2 + 4

= 3 x 2 + 4

Então, a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2 é f ' x = 3 x 2 + 4 .

Derivada de um ponto

Em alguns exercícios, pode ser pedida a derivada da função em um ponto específico p .

Por exemplo: Seja f x = x 2 , vamos calcular f ' ( 1 )

Para esses casos, podemos usar essa formulazinha aqui:

f ' p = lim x → p ⁡ f x - f p x - p

A ideia é a mesma do nosso limite maior e as vezes é mais fácil calcular dessa maneira.

Assim, vamos calcular f ' ( 1 ) :

f ' 1 = lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1

Onde, f 1 = 1 2 = 1

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 ( x + 1 ) x - 1 = lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2

É isso! Agora é só praticar bem essa definição.

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153 , 1

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

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Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Trocando o valor de f x o limite vai ficar

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 + x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x Δ x - Δ x 2 Δ x

Podemos agora, cortar o Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x - Δ x

Trocando o valor de Δ x por 0 o nosso limite vai ficar

f ' x = - 2 x

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios

Passo 3

Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.

Agora é só trocar o valor de x pelo que ele pediu

f ' - 3 = - 2 - 3 = 6

f ' 0 = - 2 0 = 0

f ' 1 = - 2 1 = - 2

Resposta

f ' x = - 2 x

f ' - 3 = 6

f ' 0 = 0

f ' 1 = - 2

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 25

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

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Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ z z - 1 - x x - 1 z - x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

f ' x = lim z → x ⁡ z x - 1 - x z - 1 x - 1 z - 1 z - x = lim z → x ⁡ x z - z - x z + x ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x