Definição de Derivadas

Teoria Completa

Fala, galera bonita! Nós somos o Responde Aí, a solu��ão para um aprendizado rápido, claro, descontraído e direto ao ponto, para você saber tudo o que precisa para arrebentar nas provas e levar o semestre de maneira mais leve!

Hoje nós bateremos um papo sobre derivadas, mais especificamente sobre a definição de derivadas. Então, se você é aluno de uma das inúmeras engenharias, matemática, física, química e muitos outros cursos, acabou de entrar na faculdade se deparou com o famoso e temido cálculo, NÃO sai dessa página, hoje é o seu dia de sorte, campeão! hahaha

A derivada é interpretada como uma taxa de variação. Então, se temos uma função, $f(x)$, a derivada dessa função, representada como $f^{'}(x)$, é definida como segue:

$$f^{'}(x)=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{f(x+Δx)-f(x) }{Δx}$$

Eu sei que quando você olha essa definição é isso aqui que você pensa hahaha:

Mas, não precisa de desespero, vamos ver essa definição de derivadas com calma!

📢 ALERTA: Percebeu que a definição de derivada envolve a resolução de um limite, então é super importante você saber bem limites antes de entrar nas derivadas. Caso você ainda não se sinta tão seguro em limites, não se preocupa porque nós do Responde Aí não deixamos um aluno na mão e temos páginas sobre limites também. Eu aconselho você a começar por essa página de Introdução aos Limites. É só clicar!

Como já falamos lá no início, a derivada é entendida como uma taxa de variação. Para calcularmos a variação de algo o que fazemos é pegar o valor final e subtrair do valor inicial. Com isso, vamos olhar essa função aqui:

Nota que tem uma reta (roxo) que corta a função (verde) em dois pontos: $A$ e $B$. Essa reta, que corta uma função em dois pontos é chamada de reta secante.

Os pontos $A$ e $B$ são:

$$A=(x,f(x))~~~~ e ~~~~ B(x+Δx, f(x+Δx))$$

Agora, vamos calcular o coeficiente angular, $m$, dessa reta secante:

$$m=\frac{Δy}{Δx}=\ \frac{f(x+Δx)-f(x) }{x+Δx-x}=\ \frac{f(x+Δx)-f(x) }{Δx}$$

Se você olhar com muita atenção vai perceber que essa expressão que encontramos para o coeficiente angular da reta é exatamente a expessão que temos lá no limite na definição de derivadas, então a derivada tem alguma coisa a ver com essa inclinação da reta, concorda?

Vamos avançar para encontrarmos essa relação.

O que acontece se a gente pegar o ponto $B$ e ir aproximando ele do ponto $A$ pela curva? Olha aqui:

Eu estou aproximando o ponto $B$ do ponto $A$ e percebe que o $Δx$ está diminuindo e a inclinação da reta também?

Vamos aproximar mais ainda o ponto $B$ do ponto $A$ até que o $Δx$ seja muito pequeno, ou seja, vamos fazer o $Δx$ tender a zero, de modo que o ponto $B$ tenda a coincidir com o ponto $A$, desse jeito aqui:

Percebe que antes tínhamos uma reta secante, e agora temos uma reta tangente ao ponto $(x,f(x))$. Uma reta tangente é aquela que "corta" a função em um único ponto.

E o que isso tem a ver com a definição de derivadas? Bom, a derivada é a taxa de variação, mas não uma taxa de variação qualquer, ela é a taxa de variação em um ponto $x$ da função. Essa taxa de variação em um único ponto da função é dada pelo coeficiente angular da reta tangente à função naquele ponto. Mas como calcular o coeficiete angular dessa reta tangente?

Foi o procedimento que acabamos de fazer, vimos que se eu considerar uma reta secante que corta a curva nos pontos $A$ e $B$ e fazer o $Δx$ tender a zero, eu passo a ter uma reta tangente ao ponto $x$, então para calcular o coeficiente angular dessa reta tangente basta eu pegar a expressão para o coeficiente da reta secante e fazer o $Δx$ tender a zero. E é exatamente essa a definição de derivada.

$$f^{'}(x)=\lim _{Δx\longrightarrow 0} m~=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{f(x+Δx)-f(x) }{Δx}$$

Exemplo

Topa fazer um exemplo comigo para fixar essa definição que acabamos de aprender? Então, bora lá!

Calcule a derivada de $f(x)=2x+3$

RESOLUÇÃO:

Para calcular a derivada, precisamos saber a expressão para a função no ponto $x$ e no ponto $Δx$:

$$f(x)=2x+3$$
$$f(x)=2(x+Δx)+3$$

Agora, vamos substituir isso na nossa expressão de definição de derivadas:

$$f^{'}(x)=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{f(x+Δx)-f(x) }{Δx}=f^{'}(x)=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{(2(x+Δx)+3)-(2x+3) }{Δx}$$
$$f^{'}(x)=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{2x+2Δx+3-2x-3 }{Δx}=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{2Δx}{Δx}$$

Podemos cortar o $Δx$ e teremos:

$$f^{'}(x)=\lim _{Δx\longrightarrow 0} \ \frac{2Δx}{Δx}=2$$

E pronto, encontramos a derivada!

Irado, não é?

Agora que você já sabe a definição de derivadas, você pode avançar mais um pouco no aprendizado e começar a ver as propriedades de derivadas. É só conferir essa nossa página aqui 👉🏽: Propriedades de Derivadas.

Vídeo

SIIIMMM!! Nós temos conteúdos em vídeo também.

Vou deixar aqui em baixo esse conteúdo de definição de derivadas em vídeo, tudo bem explicadinho, claro e feito com muito carinho. Só confere!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153 , 1

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Trocando o valor de f x o limite vai ficar

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 + x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x Δ x - Δ x 2 Δ x

Podemos agora, cortar o Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x - Δ x

Trocando o valor de Δ x por 0 o nosso limite vai ficar

f ' x = - 2 x

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios

Passo 3

Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.

Agora é só trocar o valor de x pelo que ele pediu

f ' - 3 = - 2 - 3 = 6

f ' 0 = - 2 0 = 0

f ' 1 = - 2 1 = - 2

Resposta

f ' x = - 2 x

f ' - 3 = 6

f ' 0 = 0

f ' 1 = - 2

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 25

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se antes de chegar nesse exercício você olhou a teoria (se não olhou, não tem problema que eu vou te explicando pelo caminho), você deve ter visto que para calcular uma derivada utilizando a sua definição, temos que resolver o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Até aqui tudo bem, só que no problema foi pedido para usarmos outra forma da definição. Mas repare que essas duas fórmulas são parecidas, então não muda muita coisa. As duas formas são equivalentes.

Então para resolver esse exercício vamos utilizar a fórmula que o problema deu. E o primeiro passo é começar trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ z z - 1 - x x - 1 z - x

Passo 2

Como limite de z tende a x , vamos primeiro substituir z por x e ver se chegamos a algum resultado.

f ' x = lim z → x ⁡ x x - 1 - x x - 1 x - x = 0 0

Opa! Temos uma indeterminação. Então vamos mudar a estratégia.

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

f ' x = lim z → x ⁡ z x - 1 - x z - 1 x - 1 z - 1 z - x = lim z → x ⁡ x z - z - x z + x ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x

Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

f ' x = lim z → x ⁡ x - z x - 1 z - 1   . 1 z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) ( z - x )

Repara que

x - z = - z - x

f ' x = lim z → x ⁡ - z - x x - 1 z - 1 z - x

Simplificando z - x :

f ' x = lim z → x ⁡ - 1 x - 1 z - 1

Trocando o valor de z por x o nosso limite vai ficar

f ' x = - 1 x - 1 2

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Resposta

f ' x = - 1 x - 1 2

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 26

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

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Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ 1 + z - 1 + x z - x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim z → x ⁡ 1 + z - 1 - x z - x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x

Substituindo z por x , temos uma indeterminação 0 / 0 .

Então vamos completar o conjugado no termo de cima, multiplicando por z + x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x z + x z + x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x z + x

Simplificando z - x

f ' x = lim z → x ⁡ 1 z + x

Passo 3

Agora, trocando z por x , vamos ter

f ' x = lim z → x ⁡ 1 z + x = 1 x + x

f ' x = 1 2 x

Resposta

f ' x = 1 2 x

Exercício Resolvido #4

UFF - Cálculo IA - P1 Humberto 2014.2 – 4
  1. Quando uma função f : R → R é derivável no ponto p = 0 ?
  2. Dê a definição

  3. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

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Passo 1

a )

Para uma função f ser derivável em um ponto, mas especificamente no ponto p = 0 , ela deve primeiro ser contínua nesse ponto.

Segundo, se então essa função for contínua no ponto zero e o limite

f ' p = lim Δ x → 0 ⁡ f p + Δ x - f p Δ x       →

f ' 0 = lim Δ x → 0 ⁡ f Δ x - f 0 Δ x

E esse limite existir, então a função é derivável no ponto p = 0

Passo 2

b )

Vamos na definição para achar essa derivada f ' 0 :

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x → 0 ⁡ 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x

Vamos juntar as duas frações do numerador:

= lim Δ x → 0 ⁡ 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + 1 - x + Δ x + 1 x + Δ x + 1 ) x + 1 Δ x

= lim Δ x → 0 ⁡ x + 1 - x + Δ x + 1 Δ x x + Δ x + 1 x + 1

Passo 3

Vamos aplicar x = 0 agora:

lim Δ x → 0 ⁡ 0 + 1 - 0 + Δ x + 1 Δ x 0 + Δ x + 1 0 + 1

= lim Δ x → 0 ⁡ 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 1

Pra facilitar na notação, vou trocar o Δ x por y :

lim Δ x → 0 ⁡ 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 = lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1

Passo 4

Substituindo o limite teremos uma indeterminação de 0 / 0 :

lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 = 1 - 1 0 1 = 0 0

Então vamos completar o conjugado no termo de cima. Assim, multiplicamos em cima e embaixo por ( 1 + y + 1 )   no limite:

lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 = lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 1 + y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 1 + y + 1 y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 2 - y + 1 2 y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 - ( y + 1 ) y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡       - y y y + 1 1 + y + 1

Corta o y de cima com o debaixo:

  =     lim y → 0 ⁡ - 1 y + 1 1 + y + 1

Passo 5

Agora basta substituir o limite:

lim y → 0 ⁡ - 1 y + 1 1 + y + 1

= - 1 0 + 1 1 + 0 + 1

= - 1 1 1 + 1

= - 1 2

Concluímos que a derivada desse cara nesse ponto p para p = x = 0 será:

f ' 0 = - 1 2

Resposta

a )     f   c o n t í n u a   e   o   l i m i t e   f ' 0 = lim Δ x → 0 ⁡ f Δ x - f 0 Δ x   e x i s t e .

b )   f ' 0 = - 1 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Começamos na definição da derivada:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x n - x n Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x .

Passo 2

O problema é ter que abrir um polinômio elevado a n .

E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Lembra do Binômio de Newton? Ele encontra regularidades que facilitam a representação do polinômio. Em outras palavras, ele vai nos ajudar a escrever a parte x + Δ x n de outra forma.

Então, usando o Binômio de Newton teremos,

x + Δ x n = ∑ i = 0 n n i x n - i   Δ x i

Então, galera, surgiram alguns termos que a gente não estava esperando né? Mas vamos lá!

n → é   o   n o   n o s s o   m a i o r   e x p o e n t e

i → v a i   i n d i c a r   o s   o u t r o s   e x p o e n t e s   q u e   a p a r e c e m ,   q u a n d o   a b r i m o s   a   e x p r e s s ã o

Agora vamos como calma!

Para i = 0 , temos

x + Δ x n = x n

Para   i = 1 , temos

x + Δ x n = n x n - 1 Δ x

Para i = 2 , temos

x + Δ x n = n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2

Sendo que nós temos todos esses termos em um somatório, né? Então fica assim,

x + Δ x n = x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + …

Substituindo na definição:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + … - x n Δ x

Repara que o x n cancela com - x n do final:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + … Δ x

Passo 3

Repara que sempre terá pelo menos um Δ x multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse Δ x em cada termo:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 Δ x + …

Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de Δ x , restando só o primeiro termo, que não multiplica por Δ x . Deste modo,

f ' x = n x n - 1

Assim, a derivada de x n será n x n - 1 !

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Resposta

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