Definição de Derivadas
Teoria
Fala, galera bonita! Nós somos o Responde Aí, a solução para um aprendizado rápido, claro, descontraído e direto ao ponto, para você saber tudo o que precisa para arrebentar nas provas e levar o semestre de maneira mais leve!
Hoje nós bateremos um papo sobre derivadas, mais especificamente sobre a definição de derivadas. Então, se você é aluno de uma das inúmeras engenharias, matemática, física, química e muitos outros cursos, acabou de entrar na faculdade se deparou com o famoso e temido cálculo, NÃO sai dessa página, hoje é o seu dia de sorte, campeão! hahaha
A derivada é interpretada como uma taxa de variação. Então, se temos uma função,
Eu sei que quando você olha essa definição é isso aqui que você pensa hahaha:

Mas, não precisa de desespero, vamos ver essa definição de derivadas com calma!
📢 ALERTA: Percebeu que a definição de derivada envolve a resolução de um limite, então é super importante você saber bem limites antes de entrar nas derivadas. Caso você ainda não se sinta tão seguro em limites, não se preocupa porque nós do Responde Aí não deixamos um aluno na mão e temos páginas sobre limites também. Eu aconselho você a começar por essa página de Introdução aos Limites. É só clicar!
Como já falamos lá no início, a derivada é entendida como uma taxa de variação. Para calcularmos a variação de algo o que fazemos é pegar o valor final e subtrair do valor inicial. Com isso, vamos olhar essa função aqui:

Nota que tem uma reta (roxo) que corta a função (verde) em dois pontos:
Os pontos
Agora, vamos calcular o coeficiente angular,
Se você olhar com muita atenção vai perceber que essa expressão que encontramos para o coeficiente angular da reta é exatamente a expessão que temos lá no limite na definição de derivadas, então a derivada tem alguma coisa a ver com essa inclinação da reta, concorda?
Vamos avançar para encontrarmos essa relação.
O que acontece se a gente pegar o ponto

Eu estou aproximando o ponto
Vamos aproximar mais ainda o ponto

Percebe que antes tínhamos uma reta secante, e agora temos uma reta tangente ao ponto
E o que isso tem a ver com a definição de derivadas? Bom, a derivada é a taxa de variação, mas não uma taxa de variação qualquer, ela é a taxa de variação em um ponto
Foi o procedimento que acabamos de fazer, vimos que se eu considerar uma reta secante que corta a curva nos pontos
Exemplo
Topa fazer um exemplo comigo para fixar essa definição que acabamos de aprender? Então, bora lá!
Calcule a derivada de
RESOLUÇÃO:
Para calcular a derivada, precisamos saber a expressão para a função no ponto
Agora, vamos substituir isso na nossa expressão de definição de derivadas:
Podemos cortar o
E pronto, encontramos a derivada!
Irado, não é?
Agora que você já sabe a definição de derivadas, você pode avançar mais um pouco no aprendizado e começar a ver as propriedades de derivadas. É só conferir essa nossa página aqui 👉🏽: Propriedades de Derivadas.
Vídeo
SIIIMMM!! Nós temos conteúdos em vídeo também.
Vou deixar aqui em baixo esse conteúdo de definição de derivadas em vídeo, tudo bem explicadinho, claro e feito com muito carinho. Só confere!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153 , 1
Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.
Passo 1
Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite
Trocando o valor de o limite vai ficar
Passo 2
Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite
Podemos agora, cortar o
Trocando o valor de por o nosso limite vai ficar
E pronto, fizemos a derivada pela definição.
Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios
Passo 3
Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.
Agora é só trocar o valor de pelo que ele pediu
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 25
Use a fórmula
Para determinar a derivada da função abaixo
Passo 1
Se antes de chegar nesse exercício você olhou a teoria (se não olhou, não tem problema que eu vou te explicando pelo caminho), você deve ter visto que para calcular uma derivada utilizando a sua definição, temos que resolver o seguinte limite
Até aqui tudo bem, só que no problema foi pedido para usarmos outra forma da definição. Mas repare que essas duas fórmulas são parecidas, então não muda muita coisa. As duas formas são equivalentes.
Então para resolver esse exercício vamos utilizar a fórmula que o problema deu. E o primeiro passo é começar trocando o valor de , o nosso limite vai ser:
Passo 2
Como limite de tende a , vamos primeiro substituir por e ver se chegamos a algum resultado.
Opa! Temos uma indeterminação. Então vamos mudar a estratégia.
Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:
Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:
Repara que
Simplificando :
Trocando o valor de por o nosso limite vai ficar
E pronto, fizemos a derivada pela definição.
Resposta
Exercício Resolvido #3
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 26
Use a fórmula
Para determinar a derivada da função abaixo
Passo 1
Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite
Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.
Agora, trocando o valor de , o nosso limite vai ser:
Passo 2
Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite
Substituindo por , temos uma indeterminação .
Então vamos completar o conjugado no termo de cima, multiplicando por
Simplificando
Passo 3
Agora, trocando por , vamos ter
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFF - Cálculo IA - P1 Humberto 2014.2 – 4
- Quando uma função é derivável no ponto ?
- Usando a definição dada no item , calcule a derivada da função
Dê a definição
No ponto .
Passo 1
Para uma função ser derivável em um ponto, mas especificamente no ponto , ela deve primeiro ser contínua nesse ponto.
Segundo, se então essa função for contínua no ponto zero e o limite
E esse limite existir, então a função é derivável no ponto
Passo 2
Vamos na definição para achar essa derivada :
Agora temos que aplicar e na função , assim como temos no numerador da definição :
Vamos juntar as duas frações do numerador:
Passo 3
Vamos aplicar agora:
Pra facilitar na notação, vou trocar o por:
Passo 4
Substituindo o limite teremos uma indeterminação de :
Então vamos completar o conjugado no termo de cima. Assim, multiplicamos em cima e embaixo por (no limite:
Corta o de cima com o debaixo:
Passo 5
Agora basta substituir o limite:
Concluímos que a derivada desse cara nesse ponto para será:
Resposta
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