Definição de Derivadas

Resumo Completo

Lembra daquele limite que a gente te apresentou no capítulo introdutório como uma definição da derivada? Esse limite aqui embaixo:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Como eu acabei de falar (e o título do capítulo já diz, né?), essa é a definição da derivada! Para qualquer f x podemos calcular sua derivada por esse limite aí em cima.

E é exatamente a isso que esse capítulo se propõe! Aqui vamos pegar funções diversas e calcular as suas funções derivadas para todo x .

OBS.: Pela dificuldade para calcular, é difícil que por agora seja pedido que você calcule a definição da derivada para funções como f x = sen x , f x = ln x , f x = e x e outras funções não polinomiais.

Ex: Calcule a derivada de f x = 2 x + 3

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 2 x + Δ x + 3 - 2 x + 3 Δ x

= lim Δ x 0 2 x + 2 Δ x + 3 - 2 x - 3 Δ x = lim Δ x 0 2 Δ x Δ x

Cortamos o Δ x :

lim Δ x 0 2 Δ x Δ x = lim Δ x 0 2 = 2

Ou seja, f ' x = 2 para f x = 2 x + 3 ! É um resultado que faz bastante sentido, já que 2 x + 3 é uma reta, que é um comportamento que mantém sempre a mesma taxa de variação para todo x , a qual é representada pela derivada.

Ex: Calcule a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 x + Δ x 3 + 4 x + Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

= lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

Vamos cortar todos os termos que se repetem:

= lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 - 4 x + 2 Δ x

= lim Δ x 0 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 Δ x Δ x

Dividimos pelo Δ x :

lim Δ x 0 3 x 2 + 3 x Δ x + Δ x 2 + 4

= 3 x 2 + 3 x 0 + 0 2 + 4

= 3 x 2 + 4

Então, a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2 é f ' x = 3 x 2 + 4 .

OBS:

A definição de derivada pode ser calculada usando outra fórmula

f ' x = lim k x f k - f x k - x

O passo a passo é igualzinho, a única diferença é que o limite as vezes pode ficar mais fácil de fazer usando essa fórmula.

É isso! Agora é só praticar bem essa definição.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153 , 1

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Trocando o valor de f x o limite vai ficar

f ' x = lim Δ x 0 4 - x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim Δ x 0 4 - x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x 0 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x 0 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 + x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x 0 - 2 x Δ x - Δ x 2 Δ x

Podemos agora, cortar o Δ x

f ' x = lim Δ x 0 - 2 x - Δ x

Trocando o valor de Δ x por 0 o nosso limite vai ficar

f ' x = - 2 x

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios

Passo 3

Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.

Agora é só trocar o valor de x pelo que ele pediu

f ' - 3 = - 2 - 3 = 6

f ' 0 = - 2 0 = 0

f ' 1 = - 2 1 = - 2

Resposta

f ' x = - 2 x

f ' - 3 = 6

f ' 0 = 0

f ' 1 = - 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 25

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o limite

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z x z z - 1 - x x - 1 z - x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

f ' x = lim z x z x - 1 - x z - 1 x - 1 z - 1 z - x = lim z x x z - z - x z + x ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x = lim z x x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x

Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

f ' x = lim z x x - z x - 1 z - 1   . 1 z - x = lim z x x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) ( z - x )

Repara que

x - z = - z - x

f ' x = lim z x - z - x x - 1 z - 1 z - x

Simplificando z - x :

f ' x = lim z x - 1 x - 1 z - 1

Trocando o valor de z por x o nosso limite vai ficar

f ' x = - 1 x - 1 2

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Resposta

f ' x = - 1 x - 1 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153, 26

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z x 1 + z - 1 + x z - x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim z x 1 + z - 1 - x z - x

f ' x = lim z x z - x z - x

Substituindo z por x , temos uma indeterminação 0 / 0 .

Então vamos completar o conjugado no termo de cima, multiplicando por z + x

f ' x = lim z x z - x z - x z + x z + x

f ' x = lim z x z - x z - x z + x

Simplificando z - x

f ' x = lim z x 1 z + x

Passo 3

Agora, trocando z por x , vamos ter

f ' x = lim z x 1 z + x = 1 x + x

f ' x = 1 2 x

Resposta

f ' x = 1 2 x

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFF - Cálculo IA - P1 Humberto 2014.2 – 4
  1. Quando uma função f : R R é derivável no ponto p = 0 ?
  2. Dê a definição

  3. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a )

Para uma função f ser derivável em um ponto, mas especificamente no ponto p = 0 , ela deve primeiro ser contínua nesse ponto.

Segundo, se então essa função for contínua no ponto zero e o limite

f ' p = lim Δ x 0 f p + Δ x - f p Δ x      

f ' 0 = lim Δ x 0 f Δ x - f 0 Δ x

E esse limite existir, então a função é derivável no ponto p = 0

Passo 2

b )

Vamos na definição para achar essa derivada f ' 0 :

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x

Vamos juntar as duas frações do numerador:

= lim Δ x 0 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x = lim Δ x 0 x + 1 - x + Δ x + 1 x + Δ x + 1 ) x + 1 Δ x

= lim Δ x 0 x + 1 - x + Δ x + 1 Δ x x + Δ x + 1 x + 1

Passo 3

Vamos aplicar x = 0 agora:

lim Δ x 0 0 + 1 - 0 + Δ x + 1 Δ x 0 + Δ x + 1 0 + 1

= lim Δ x 0 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 1

Pra facilitar na notação, vou trocar o Δ x por y :

lim Δ x 0 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 = lim y 0 1 - y + 1 y y + 1

Passo 4

Substituindo o limite teremos uma indeterminação de 0 / 0 :

lim y 0 1 - y + 1 y y + 1 = 1 - 1 0 1 = 0 0

Então vamos completar o conjugado no termo de cima. Assim, multiplicamos em cima e embaixo por ( 1 + y + 1 )   no limite:

lim y 0 1 - y + 1 y y + 1 = lim y 0 1 - y + 1 y y + 1 1 + y + 1 1 + y + 1

= lim y 0 1 - y + 1 1 + y + 1 y y + 1 1 + y + 1

= lim y 0 1 2 - y + 1 2 y y + 1 1 + y + 1

= lim y 0 1 - ( y + 1 ) y y + 1 1 + y + 1

= lim y 0       - y y y + 1 1 + y + 1

Corta o y de cima com o debaixo:

  =     lim y 0 - 1 y + 1 1 + y + 1

Passo 5

Agora basta substituir o limite:

lim y 0 - 1 y + 1 1 + y + 1

= - 1 0 + 1 1 + 0 + 1

= - 1 1 1 + 1

= - 1 2

Concluímos que a derivada desse cara nesse ponto p para p = x = 0 será:

f ' 0 = - 1 2

Resposta

a )     f   c o n t í n u a   e   o   l i m i t e   f ' 0 = lim Δ x 0 f Δ x - f 0 Δ x   e x i s t e .

b )   f ' 0 = - 1 2

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começamos na definição da derivada:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x 0 x + Δ x n - x n Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x .

Passo 2

O problema é ter que abrir um polinômio elevado a n .

E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Utilizando o binômio de Newton:

x + Δ x n = i = 0 n n i x n - i   Δ x i

x + Δ x n = x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 2 + n x Δ x n - 1 + Δ x n

Substituindo na definição:

f ' x = lim Δ x 0 x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + ( ) + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 2 + n x Δ x n - 1 + Δ x n - x n Δ x

O x n cancela com - x n do final:

f ' x = lim Δ x 0 n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + ( ) + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 2 + n x Δ x n - 1 + Δ x n Δ x

Passo 3

Repara que tem pelo menos um Δ x multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse Δ x em cada termo:

f ' x = lim Δ x 0 n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 Δ x + ( ) + n n - 1 2 x 2 Δ x n - 3 + n x Δ x n - 2 + Δ x n - 1

Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de Δ x , restando só o primeiro termo, que não multiplica por Δ x :

f ' x = n x n - 1

Assim, a derivada de x n será n x n - 1 !

f x = x n f ' x = n x n - 1

Resposta

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